Combinatoria (I). Combinaciones, variaciones y permutaciones

¿Cuántas formas hay de obtener una suma para de números al lanzar 3 dados? ¿cuántas parejas distintas se pueden formar con una baraja de cartas? ¿cuántas combinaciones distintas de resultados se pueden formar con 5 monedas? Responder con exactitud a este tipo de preguntas es fundamental en el cálculo de probabilidades, cuando necesitamos hallar el número de casos favorables y casos psoibles. Es aquí donde entran en juego las fórmulas de combinatoria.

Cuando nos disponemos a aplicar la Regla de Laplace para calcular la probabilidad de un suceso A, necesitamos conocer el número de casos favorables y el de casos posibles:

Para un experimento como el de lanzar un dado, calcular el número de casos posibles es sencillo. Sabemos que existen 6 posibles resultados. Si el suceso objeto de estudio es “sacar par”, también podemos calcular mentalmente que son 3 los casos favorables (los resultados: 2,4,6).

Con estos datos, calcular la probabilidad del suceso A es inmediato: “sacar par con un dado”: P(A)=3/6=0,5 (un 50%).

Técnicas de recuento

Sin embargo, el problema se puede complicar. Imaginemos que el experimento que estudiamos es el lanzamiento, no de un dado, sino de 2 dados a la vez, y que el suceso objeto de estudio es “sacar suma par”.

Ahora el número de casos posibles ya no es 6. Y el número de casos favorables para “sacar suma par”, no es 3. En ambos casos son muchos más. Pero, ¿cuántos casos exactamente? Para calcular con exactitud la probabilidad de un suceso es necesario hacer un recuento exacto de los casos favorables y posibles. Y es aquí donde entra en juego la combinatoria.

Hay 18 formas diferentes de combinar los resultados de dos dados para obtener una suma par, de un total de 36 parejas posibles de resultados.

La probabilidad del suceso A “sacar sumar par con 2 dados” es: P(A)=18/36=0,5 (un 50%). El número de casos favorables y posibles es diferente y mucho mayor que con un solo dado (aunque observamos que la probabilidad vuelve a ser un 50%).

En general, se trataría de buscar métodos ordenados para no dejar ninguna combinación fuera. Podemos emplear estructuras en forma de matriz (como la tabla anterior), en forma de árbol, etc. para realizar un recuento ordenado.

Para unos pocos elementos podemos anotar todas las posibles combinaciones. Sin embargo, cuando el número de elementos crece considerablemente, se hace necesaria alguna fórmula que simplifique el cálculo de todas las combinaciones posibles. Por ejemplo, para calcular el número total de parejas del problema anterior, bastaría con aplicar una sencilla fórmula:

donde m (6) es el número de posibles resultados al lanzar un solo dado, y n (2) es el número de dados que utilizamos. Para este problema en particular, estaríamos aplicando la fórmula de variación.

De esta forma, dependiendo del tipo de problema – si el orden de los elementos es importante o si podemos repetir elementos – nos enfrentamos a distintos tipo problemas de combinatoria: combinaciones, variaciones y permutaciones, con y sin repetición.

¿C, V o P? ¿CR, VR o PR?

¿Cómo saber a qué tipo de problema de combinatoria nos enfrentamos? Básicamente, hay que plantear 3 preguntas:

  1. ¿Importa el orden? (O)
  2. ¿Se hacen subgrupos? (S) (si se utilizan todos los elementos, no se hacen subgrupos)
  3. ¿Se pueden repetir elementos? (R)

Ficha 1. Combinatoria (I). Combinaciones, variaciones y permutaciones

Comparto esta ficha que reúne los primeros apuntes sobre combinatoria. En breve, publicaré nuevos apuntes con fórmulas y varios ejemplos de aplicación.

Apuntes | Ficha 1. Combinatoria (I). Combinaciones, variaciones y permutaciones
En Tiching | Combinaciones, variaciones y permutaciones

Piedra, papel, tijera, lagarto, Spock. Una cuestión de combinatoria

Dedico esta semana una entrada a una de mis series favoritas. Explico la variante del juego «Piedra, papel o tijera» que utiliza uno de los protagonistas, Sheldon Cooper, para echar algo a suertes. Las reglas del juego me sirven de punto de partida para introducir algunos aspectos sobre combinatoria que iré publicando en breve.

The Big Bang Theory es una de las mejores series que he visto en mucho tiempo. En ella se hacen continuamente referencias al mundo de las matemáticas, la física y ciencia en general. En mi opinión el guión está lleno de genialidad. Mi serie favorita, sin más.

La serie cuenta con su propia página en Wikipedia que presenta a los personajes, cada uno de ellos con alguna rareza:

La serie comienza con la llegada de Penny, aspirante a actriz, al apartamento vecino que comparten Sheldon y Leonard, dos físicos, que trabajan en el Instituto Tecnológico de California (Caltech). Ambos son intelectuales brillantes en su trabajo, amigos a su vez de Howard y Raj, que son presentados como unos completos geeks, muy alejados de las inquietudes y problemas de la gente común. Howard Wolowitz es un ingeniero pseudo-galán de origen judío, paradigma de una película psicodélica de los sesenta. Rajesh Koothrappali es astrofísico de nacionalidad india. En el curso de la serie se muestra la dificultad de los protagonistas masculinos para relacionarse con personas fuera de su entorno, principalmente de sexo femenino, dando lugar a situaciones cómicas.

La serie contiene una gran cantidad de situaciones muy cómicas y referencias a principios y teorías físicas auténticas, aunque son simplificados al máximo para poder ser entendidos rápidamente por la audiencia que no posea estudios en física, matemáticas o ingeniería.

De todos los personajes, probablemente el más popular es Sheldon Cooper. El blog emezeta publicaba «20 razones por las que gusta Sheldon Cooper»: sus normas y cláusulas, el uso que hace del Klingon, su infancia, sus referencias a la tecnología o sus teorías en general. Una de sus rarezas más divertidas es su versión del popular juego «Piedra, papel o tijera». Según él, «está demostrado que los jugadores que se conocen empatan entre un 75 y un 80% de las veces por el número limitado de resultados». Es por esta razón que tiene su propia versión del juego, que incluye a un lagarto y el saludo de Spock en Star Trek. En varios capítulos de la serie aparecen los personajes jugando a «Piedra, papel, tijera, lagarto, Spock». En esta escena explica las reglas del juego:

La lista de las 10 reglas del juego es la siguiente:

1. Scissors cuts Paper
2. Paper covers Rock
3. Rock crushes Lizard
4. Lizard poisons Spock
5. Spock smashes Scissors
6. Scissors decapitates Lizard
7. Lizard eats Paper
8. Paper disproves Spock
9. Spock vaporizes Rock
10. Rock crushes Scissors

En español:

“Las tijeras cortan el papel, el papel cubre a la piedra, la piedra aplasta al lagarto, el lagarto envenena a Spock, Spock destroza las tijeras, las tijeras decapitan al lagarto, el lagarto se come el papel, el papel refuta a Spock, Spock vaporiza la piedra, y, como es habitual… la piedra aplasta las tijeras.”

Las reglas en un grafo dirigido

Incluso escuchando con atención, no resulta sencillo memorizar todas las posibles combinaciones de posibles resultados. Es por ello que podemos encontrar publicados en Internet infinidad de gráficos explicando detalladamente las reglas. Se suele utilizar lo que se conoce en matemáticas como grafo: una serie de puntos (vértices o nodos) unidos por líneas (aristas). Para representar las reglas del juego son necesarios 5 puntos y 10 líneas. Los puntos son las 5 posibles opciones del juego: piedra, papel, tijera, lagarto o Spock. Las líneas representan las distintas combinaciones entre las opciones de juego. En particular, las aristas (líneas) de este grafo son del tipo «dirigidas», representadas con una flecha, para indicar que no es lo mismo que el jugador 1 saque «piedra» y el jugador 2 saque «tijera», que al contrario.

Cuestión de combinatoria

Observamos 10 combinaciones posibles. Este es un dato que podemos ver a simple vista, contando el número de flechas, que no son demasiadas. Pero, ¿cuántas combinaciones posibles habría si quisiéramos incluir un elemento más en el juego? ¿y si fueran un total de 10 elementos? ¿Existe alguna forma de calcular las posibles combinaciones sabiendo el número de elementos que hay que combinar por parejas? Existe un método, y una parte de las matemáticas se encarga precisamente de este tipo de cálculos: la combinatoria.

Para este juego en particular, puesto que solo queremos conocer el número de parejas distintas que se pueden formar, habría que aplicar la fórmula de las combinaciones, donde «n» es el número de elementos para combinar (5 elementos),  y «k» el subgrupo que se forma (parejas: 2 elementos).

Recientemente explicaba la función factorial (!) en este mismo blog. Sustituyendo n por 5 y k por 2, y realizando los cálculos, obtenemos el resultado de 10 combinaciones para 5 elementos agrupados por parejas. Si fueran 10 elementos tendríamos 45 combinaciones y si fueran 20, 190 combinaciones. WolframAlpha también es capaz de realizar el cálculo de forma inmediata utilizando los términos de búsqueda «combinations 10 2».

La combinatoria es una parte de las matemáticas que es fundamental conocer para el cálculo de probabilidades, principalmente para hallar con exactitud el número de casos favorables de un suceso o todos los casos posibles de un determinado experimento.

Piedra, papel, tijera, lagarto, Spock. Versión en Java para jugar

Para los que no tengan ni tiempo ni ganas de memorizar las reglas del juego, pueden jugar directamente con la implementación (siempre mejorable) que he hecho del juego con el lenguaje de programación Java. Básicamente se han programado las reglas utilizando una matriz que almacena el resultado de cada posible jugada, que se genera de forma aleatoria.

(clic sobre la imagen para jugar)

El juego también cuenta con su propio artículo en Wikipedia, y también existe todo tipo de merchandising alrededor de esta genial ocurrencia.

Vídeo TBBT | Rock, Paper, Scissors, Lizard, Spock (subtítulos en español)
Código Java | Rock, Paper, Scissors, Lizard, Spock

Las probabilidades en la vida

Eduard Punset entrevista al matemático y divulgador científico Amir Aczel. Analizan situaciones de la vida en las que tienen lugar inexplicables coincidencias. La respuesta está en la teoría de probabilidades.

El pasado 13 de mayo, La 2 de RTVE emitía el programa número 125 de Redes, dirigido y presentado por Eduard Punset. Con el título «Descifrar las probabilidades en la vida», Punset entrevista al matemático y divulgador científico Amir Aczel, con el que analiza muchas situaciones en las que tienen lugar ciertas coincidencias. En algunas existe una explicación inmediata, mientras que la respuesta a otras «casualidades» inexplicables, la podemos encontrar en la teoría de probabilidades. En ocasiones no es muy buena idea fiarnos de nuestra propia intuición para resolver algunos problemas o tomar determinadas decisiones en la vida. Amir Aczel afirma:

«La teoría de las probabilidades es la menos intuitiva de todas las ramas de las matemáticas»

(clic sobre la imagen para ver el programa)

Podría decir que la emisión ha sido un programa casi hecho a medida para recordar algunos de lo artículos sobre probabilidad publicados en este blog.

Hace más de un año publicaba «La intuición nos puede engañar, las matemáticas no». Contaba como en ocasiones la intuición puede hacer que nos equivoquemos en el momento de tomar una decisión. Podríamos elegir de forma incorrecta una opción entre varias, simplemente porque parece que es la más probable. Pero sólo aparentemente. Proponía como ejemplo un problema que refleja este juego de probabilidades. Es el conocido problema de Monty Hall.

Otro de los problemas que analiza el programa es «La paradoja del cumpleaños», un conocido problema matemático que plantea la siguiente pregunta: “¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 23 personas 2 de ellas cumplan años el mismo día y mes? Publiqué la entrada «Experimento en redes sociales: la paradoja del cumpleaños» en la que propongo un pequeño experimento en redes sociales con este problema, que además intento explicar utilizando algunos conceptos de probabilidad.

Sobre coincidencias os recomiendo echar un vistazo a «De amig@s invisibles y cálculo de probabilidades», donde analizo la coincidencia de tener al mismo amigo invisible tres años consecutivos en un grupo de 45 personas. Y propongo hallar la probabilidad de este suceso, utilizando las funciones de cálculo para el lanzamiento de dados del buscador de respuestas Wolfram|Alpha.

También sobre el error de dejar llevarnos por nuestra intución, recientemente en «Azar y probabilidad: la falacia del jugador«, presentaba algunos ejemplos y recursos que pueden servir para motivar el tema de probabilidad en el aula de matemáticas: ¿Jugarías a la lotería con el número 01111? ¿y si ya hubiera tocado ese mismo número en las Navidades pasadas? ¿o es más probable jugar siempre al mismo número?

Durante la entrevista se plantea el experimento de lanzar un dado. Si se obtiene un «2» en los primeros 6 lanzamientos. ¿Es entonces menos probable que ocurra de nuevo en el séptimo lanzamiento? La intución podría indicarnos que sí. Sin embargo, la teoría matemática dice que la probabilidad sigue siendo la misma: 1 sobre 6.

Relacionado con este último experimento proponía una actividad con la hoja de cálculo para el aula de matemáticas, realizando con el ordenador simulaciones de experimentos de lanzamientos de dados cientos de veces para demostrar la Ley de los Grandes Números. Y con un enfoque más informático, publicaba «Trocitos de código (I). Lanzando una moneda millones de veces: ¿cara o cruz?» en el que planteo esta misma demostración con un lenguaje de programación.

RTVE | Descifrar las probabilidades en la vida

Bases de Datos (III). Diseño lógico

La tercera entrega de la serie de apuntes sobre Bases de Datos está dedicada al Diseño Lógico. En esta fase el objetivo es transformar el esquema inicial de la BD (diseño conceptual), en una serie de estructuras lógicas: tablas, campos y claves primarias y ajenas.

En la serie de materiales sobre Bases de Datos, presenté algunos conceptos y definiciones, además de la realización de un proyecto completo, resumiendo cada una de las fases que lo componen: análisis, esquema, tablas, datos y consultas. En la Fase 2 del diseño de la Base de Datos, propuse la elaboración de un esquema de la BD utilizando el Modelo Entidad-Relación.

Una vez terminado y validado el diagrama, ya estamos en disposición de comenzar la Fase 3, en la que nos enfrentamos al diseño de la BD con el ordenador, utilizando un Sistema de Gestión de Base de Datos.

Esta fase se conoce como diseño lógico. En este punto del proyecto, transformamos el esquema de la base de datos (diseño conceptual), en una serie de estructuras lógicas (tablas, campos, claves primarias y ajenas, etc.), que permitirán almacenar los datos de una forma óptima, sin redundancia de datos (que no haya duplicidad de información; que no se repita el mismo dato) y garantizando la integridad referencial: que no se pueda relacionar un dato A con otro dato B, si este último no existe todavía en la base de datos.

El objetivo es definir correctamente los campos y claves de las tablas, y las relaciones entre ellas, para que el sistema gestor de base de datos pueda avisar con un mensaje de error si el usuario está intentando realizar una operación incorrecta sobre la base de datos, y que no corresponde con el diseño del esquema inicial.

He resumido en estos apuntes los pasos necesarios para definir las distintas relaciones entre entidades que se pueden dar en la fase de diseño lógico.

Ficha (4) | Diseño lógico (PDF, 2 páginas)
En Tiching | Bases de datos (III). Diseño lógico.
Ficha (3) | Modelo Entidad-Relación (PDF, 2 páginas)
Fichas (1) y (2) | Bases de Datos (I). Fases de diseño

Día Escolar de las Matemáticas: ¿por qué aprenderlas?

Hoy 12 de mayo se celebra el Día Escolar de las Matemáticas, dedicado a la relación entre matemáticas y economía. ¿Por qué aprender matemáticas? ¿por qué elegir esta ciencia como opción de futuro?

Hoy 12 de mayo, se celebra el Día Escolar de las Matemáticas. Fue en el año 2000, declarado Año Mundial de las Matemáticas por la UNESCO, cuando se instituyó este día como Día Escolar de las Matemáticas por la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM).

Especialmente en tiempos de crisis económica como la que estamos viviendo, y para estar al tanto de si las cosas van bien o mal, parece que estamos casi obligados a conocer algunos términos económicos, en general de carácter muy matemático. La XIII edición del Día Escolar de las Matemáticas está dedicada precisamente a la relación entre Matemáticas y Economía.

Y, ¿por qué el 12 de mayo? Se eligió este día conmemorando el nacimiento del matemático Pedro Puig Adam, iniciador de la didáctica de las matemáticas en España, y que nació en 12 de mayo de 1900. Como cuentan en la FESPM,  «con él se inició la renovación de enseñanza de las matemáticas en España, en la década de los cincuenta, movimiento del que la FESPM se siente heredera». Desde entonces, cada año ha tenido lugar esta celebración centrándola en un tema que relaciona las matemáticas con algún otro ámbito del conocimiento.

  • 2000: Pon un poliedro en tu centro
  • 2001: Las matemáticas de los relojes de sol
  • 2002: La Rosa de los vientos, el rumbo y la navegación
  • 2003: Las matemáticas de Alicia y de Gulliver
  • 2004: Frutas y Matemáticas
  • 2005: El Quijote y las matemáticas
  • 2006: Mirar el arte con ojos matemáticos
  • 2007: Matemáticas y educación para la paz
  • 2008: Matemáticas y música
  • 2009: La ciudad y las matemáticas
  • 2010: Prensa y matemáTICas
  • 2011: Las matemáticas de la química
  • 2012: Matemáticas y economía. Ventajas de la cooperación

¿Por qué aprender matemáticas?

Aunque tradicionalmente las matemáticas han sido sido siempre consideradas el «hueso» en cualquier curso, podemos encontrar varios motivos que pueden fomentar el interés por aprenderlas.

En primer lugar su utilidad en cualquier faceta de nuestras vidas. No hay día de la semana en el que no tengamos que enfrentarnos a algún cálculo matemático, aunque sea básico. Adquirir cierta agilidad con las operaciones matemáticas, garantiza que podamos resolver determinadas situaciones que se puedan presentar, especialmente en cuestión de toma de decisiones. Las matemáticas son el arte de pensar bien. El carácter metódico con el que se resuelven los problemas matemáticos, permite desarrollar el hábito de pensar de forma organizada también en otro tipo de problemas, no necesariamente matemáticos. Por otro lado, piensa también que sin matemáticas no habría móviles, ordenadores, videoconsolas… Internet.

La colección de libros «El Mundo es Matemático» dedica uno de sus entregas a las matemáticas de la economía.

FICHA DEL LIBRO

Título: Hipotecas y ecuaciones. Las matemáticas de la economía.

Autores: Lluís Artal y Josep Sales

Editorial: RBA

Fecha de publicación: 2010

ISBN: 978-84-473-6969-0

Páginas: 159

Idioma: español

Disponible en: promoción del diario El Mundo

Leemos en la contraportada:

Buena parte de nuestro quehacer matemático diario está relacionado de un modo u otro con la economía: comparamos precios, calculamos la vuelta de la compra, interpretamos las noticias sobre la inflación o el paro… De hecho, es muy posible que contratar un préstamo o una hipoteca sea la decisión matemáticamente más compleja que tome un individuo cualquiera a lo largo de su vida. En este volumen se explican de forma amena y rigurosa las matemáticas que subyacen a la economía y las finanzas de personas y países.

¿Por qué estudiar la carrera de matemáticas?

De disfrutar con las matemáticas en secundaria y bachillerato, a elegir Matemáticas como estudios universitarios, hay lógicamente un gran salto. Pasión por esta ciencia debe ser uno de los motivos, pero hay otros. Los resume este reportaje de Tesis.

DEM 2012 | Día Escolar de las Matemáticas 2012
Tesis | Reportaje sobre los estudios de Matemáticas
Foto Fórmula | basada en «easy math» de Daniel Kulinski en Flickr

Trocitos de código (II). Recursividad y la función factorial

La función factorial aparece con mucha frecuencia en ejercicios de probabilidad, concretamente en los cálculos de combinatoria (combinaciones, variaciones y permutaciones). Esta función se puede definir de diferentes formas. Una de ellas, es la forma recursiva. Pero, ¿qué es la recursividad? El artículo explica el concepto de recursión o recurrencia, y como aplicarlo a funciones como el factorial de un número. Finalmente, se propone una implementación de la función con el lenguaje de programación Java.

Leí en el blog Fotomat sobre fotografía y matemáticas una fantástica frase para explicar la recursividad. También la fotografía que publica refleja perfectamente el concepto.

«Si un genio te ofrece tres deseos dile que te bastan dos: El 1º lo que quieras y el 2º otros dos deseos. Eso es recursividad

Una definición de recursividad (también llamada recursión o recurrencia) sería

«La recursividad es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definición.»

Como se puede observar en la imagen, en el cuadro que sostiene la chica, aparece de nuevo la imagen completa original. Y así sucesivamente, idealmente hasta el infinito. Sin embargo, cuando se utiliza la recursividad en matemáticas, es necesario definir lo que se denomina «caso base», una condición que permite evitar el carácter infinito de la recursividad.

Podemos encontrar muchos ejemplos de recursión en las funciones matemáticas. Uno de los ejemplos clásicos de funciones que pueden definirse de forma recursiva son la función factorial de un número: n!

¿Qué es el factorial de un número?

De nuevo, una definición:

Para todo entero positivo n, el factorial de n o n factorial se define como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n.

La letra pi mayúscula que aparece en la fórmula se llama productorio, y es un operador matemático (como el sumatorio) que representa una multiplicación de una serie de números (finita o infinita).

Es decir, para calcular por ejemplo el factorial de 6, y se expresa como 6!, habría que realizar el producto de los número naturales desde 1 (k=1) hasta 6 (que es el valor de n).

Se dice que este método para calcular la función factorial es de tipo iterativo. Se realiza un recorrido (iteración) por los distintos números, multiplicando en cada paso cada número de la serie por el siguiente (que es el anterior más 1).

Se trata de una función que aparece con mucha frecuencia en los cálculos de combinatoria (combinaciones, variaciones y permutaciones), fundamental para el cálculo de probabilidades. De hecho, en cualquier calculadora científica, podemos encontrar una tecla que realiza precisamente esta función sobre un número.

Pero también existe una definición recursiva de la función factorial.

Podemos observar que en la definición de la función factorial (la expresión a la derecha del símbolo «=»), aparece de nuevo la función factorial. Esta situación corresponde con la definición de recursividad que comentábamos al principio: «la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definición.»

Ahora sabemos que la calculadoras disponen de la función factorial. Pero, ¿cómo se puede programar este cálculo con un ordenador? Los lenguajes de programación también permiten definir funciones de forma recursiva, y un ejemplo de implementación de la función factorial en Java sería la siguiente (clic sobre la imagen para probar el código).

El desarrollo de la función factorial de forma recursiva según el código anterior sería:

factorial(6) = 6·factorial(5)
factorial(5) = 5·factorial(4)
factorial(4) = 4·factorial(3)
factorial(3) = 3·factorial(2)
factorial(2) = 2·factorial(1)
factorial(1) = 1·factorial(0)
factorial(0) = 1

Y procediendo y resolviendo en orden inverso:

factorial(0) = 1
factorial(1) = 1·factorial(0) = 1
factorial(2) = 2·factorial(1) = 2·1 = 2
factorial(3) = 3·factorial(2) = 3·2 = 6
factorial(4) = 4·factorial(3) = 4·6 = 24
factorial(5) = 5·factorial(4) = 5·24 = 120
factorial(6) = 6·factorial(5) = 6·120 = 720

Este último paso se denomina caso base. En algún momento, la recursión debe terminar. Si ni impusiéramos una última condición, la recursión seguiría indefinidamente.

Código Java | Función factorial
En Tiching | Recursividad y la función factorial
Foto Recursividad | Fotomat
Foto Calculadora | por Simon Q en Flickr

Probabilidad de la unión de sucesos (compatibles e incompatibles)

Una explicación del cálculo de la probabilidad de la unión de dos sucesos A y B, a través de ejemplos, cuando estos son sucesos compatibles y cuando son incompatibles.

Supongamos el experimento de lanzar un dado. Existen 6 posibles resultados: 1,2,3,4,5 y 6. En un primer ejemplo, supongamos también dos sucesos A y B. El primero, A, se refiere al suceso «sacar menor que 5». El suceso B, «sacar número par».

Realizar el cálculo de la probabilidad de A es sencillo: 4 casos favorables de 6 posibles. Para el suceso B: 3 casos favorables de 6 posibles. Un 67% y un 50% respectivamente. Pero, ¿cuál es la probabilidad de la unión de ambos sucesos? Con otras palabras, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra uno u otro? Si sumamos ambas probabilidades, obtenemos un 117%, lo cual es incorrecto. Las probabilidades siempre tienen un valor entre 0 y 1 (0% y 100%).

Sin embargo, con un segundo ejemplo en el que el suceso A es «sacar par» (50%) y B «sacar impar» (50%), la suma de probabilidades es correcta: un 100% (se trata de un suceso seguro; podemos afirmar rotundamente que o bien sale par o sale impar).

¿Por qué la suma de probabilidades «funciona» para el segundo ejemplo pero no para el primero? La clave está en la compatibilidad de los sucesos. En el primer ejemplo, los sucesos son compatibles. En el segundo, incompatibles. Y para responder a estas preguntas he preparado unos apuntes sobre el cálculo de la probabilidad de la unión de sucesos, compatibles e incompatibles.

Apuntes | Probabilidad de la unión de sucesos
En Tiching | Probabilidad de la unión de sucesos
Foto | Dice five de Doug Wheller en Flickr

Sucesos y la Regla de Laplace: ejercicios sobre probabilidad

Un documento con 18 ejercicios de introducción a la probabilidad: operaciones con sucesos y aplicación de la Regla de Laplace para el cálculo de probabilidades.

La semana pasada publiqué un par de artículos sobre probabilidad. Con «La Ley de los Grandes Números y los 1000 lanzamientos de un dado» proponia una actividad con la hoja de cálculo para el aula de matemáticas, realizando con el ordenador simulaciones de experimentos de lanzamientos de dados.

Y con el recurso «Trocitos de código (I). Lanzando una moneda millones de veces: ¿cara o cruz?», empezaba una serie de artículos con ejemplos de programas escritos con algún lenguaje de programación y que resuelven algún problema concreto de matemáticas. Y empezaba con la simulación de millones de lanzamientos de una moneda.

Comparto esta semana una primera ficha de ejercicios sobre probabilidad. Se trata sobre cuestiones de experimentos de azar, definición de sucesos, operaciones de unión e intersección de sucesos, compatibilidad entre sucesos, análisis de frecuencias y cálculo de probabilidades aplicando la Regla de Laplace.

¿Y dónde encontrar más ejercicios?

Propongo realizar una búsqueda en Tiching para encontrar todo tipo de recursos sobre el tema. Introduciendo los términos «ejercicios de probabilidad» en el explorador, obtenemos una larga lista de recursos disponibles, que podemos filtrar según el nivel educativo (3º de ESO).

Ejercicios | Probabilidad (PDF, 2 páginas)
En Tiching | Ejercicios de Probabilidad

Novedades en GIMP y 10 recursos para practicar con imágenes digitales

GIMP tiene nueva versión: 2.8. Recopilo esta semana varios recursos y actividades que he compartido en varias entradas de este blog, sobre imagen digital en general y de GIMP en particular

Genbeta anuncia que GIMP 2.8 para Windows ya está disponible para descarga. Ya habían dedicado un primer artículo para explicar a fondo todas las novedades que trae esta nueva versión del software de edición de imágenes.

No es la primera vez que hablo en Esfera TIC sobre GIMP. Además, es el software que utilizo cada semana para editar las imágenes que aparecen en este blog. Reúno esta semana varios recursos y actividades que he compartido en varias entradas de este blog, sobre imagen digital en general y de GIMP en particular.

1. Coloreando el pasado con GIMP

¿Existe alguna forma de colorear un objeto que aparece en una fotografía en blanco y negro? Con el programa GIMP es posible. Con esta actividad sobre edición de imágenes digitales explico paso a paso el proceso para conseguir el efecto de «colorear el pasado».

2. Diseña tu tarjeta de Navidad con GIMP… ¡en 5 pasos!

Guía sobre cómo diseñar este año tu propia tarjeta de Navidad, utilizando herramientas de recorte y varios efectos decorativos y artísticos con GIMP.

3. “El intruso”, un juego de retoque fotográfico

Un proyecto de edición de imágenes digitales en la que trataremos de «colar» un objeto intruso en un escenario. Además del recorte y composición, la actividad requerirá de métodos adicionales de retoque para lograr el efecto deseado.

4. ¡Cambio de escenario!

Guía sobre Composición de Imágenes con GIMP y la actividad ¡Cambio de escenario!, un proyecto sobre edición de imágenes en el que se proponen dos situaciones: una realista y otra surrealista.

5. Reto fotográfico: 30 días, 30 fotos

Maratón fotográfica durante un mes. Un proyecto de 30 fotos en 30 días, dentro de la asignatura de Informática para trabajar aspectos técnicos y edición de imágenes digitales.

6. Sobre viajes en el tiempo y retos fotográficos

Dos ideas, dos proyectos. El primero, sobre cómo fusionar pasado y presente a través de la fotografía; de “cómo las cosas han cambiado, pero siguen igual”. El segundo es un reto fotográfico para realizar durante un mes

7. Imagen digital: un oso polar en el desierto

Un ejemplo de aplicación de la herramienta de recorte del programa GIMP.

8. Imagen digital con GIMP: 4 cosas que hay que saber

Sobre el tratamiento digital de imágenes como competencia básica y la importancia de conocer las 4 operaciones básicas sobre una imagen digital. El caso del editor GIMP.

9. Nuevo reto fotográfico: 101 ideas para 2012

Nuevo reto fotográfico: capturar con la cámara 101 ideas que propongo para 2012.

10. Los colores en Informática: los modelos RGB y HSV

Apuntes sobre el tratamiento digital de los colores. Dimensiones de una imagen, tamaño y extensión del archivo y… espacios de color. ¿Qué son los modelos de color RGB y HSV?

En Tiching | 10 recursos para practicar con imágenes digitales
GIMPThe GNU Image Manipulation Program

En la blogosfera de la educación (IX)

Sólo dos temas para esta novena entrega de la «Blogosfera de la educación»: el 6 de mayo y 27 blogs de profesores.

La blogosfera de la educación la reservo esta semana a dos temas. El primero, como no podía ser de otra forma hoy domingo 6 de mayo: al Día de la Madre. El segundo asunto: los finalistas del Premio Espiral Edublogs 2012.

La mirada de la mariposa compartía este emotivo anuncio que muestra el esfuerzo de unas madres por sacar a sus hijos adelante. Son las madres de los atletas Olímpicos de London 2012. «El trabajo más difícil del mundo es en verdad el mejor trabajo del mundo». ¡Feliz Día a todas las madres! (y a la mía en especial).

El pasado viernes se publicó la lista de los finalistas de los Premios Espiral Edublogs de este año, ya en su sexta edición. Este año se han batido todo los records: 1824 blogs presentados a diferentes categorías. Esfera TIC se presentó en la categoría de «Blog del profesor», y a aunque no hubo suerte en esta edición, ¡vamos a por la séptima!

La sección «En la blogosfera de la educación» trata de dar a conocer otros blogs de temática educativa, así que además de dejaros el enlace a la lista de los finalistas en todas las categorías, comparto a continuación los blogs finalistas que se presentaron también a la misma categoría que Esfera TIC: «Blogs de profesores y profesoras». En breve se conocerán los ganadores.

¡Felicidades a todos!

Vídeo | Best Job | P&G London 2012 Olympic Games Film
Premios Espiral Edublogs 2012 | Lista de finalistas