Un mundo (digital) de unos y ceros

La informática son unos y ceros. Esta es la frase que repiten una y otra vez quienes intentan (no siempre con éxito) explicar el funcionamiento interno de cualquier dispositivo electrónico digital.

En la era digital, utilizamos cómodamente un procesador de textos para escribir documentos, editamos nuestras fotografías desde nuestro smartphone para luego publicarlas en redes sociales, realizamos búsquedas de información en Internet, enviamos mensajes de texto o de voz a los móviles de nuestros amigos, etc. Y resulta que todo esto sucede apenas sin esfuerzo por nuestra parte, sin pensar en números y sin hacer ningún cálculo matemático. Damos por hecho que funcionará, como si de magia se tratara.

Y hay que reconocer que algo de mágico tiene el proceso. Cuesta creer que cuando enviamos un mensaje por correo electrónico desde nuestro ordenador, por ejemplo desde algún país de Europa con destino al continente americano, realmente estamos enviando fragmentos de ese mensaje codificados de forma binaria (tiras de ceros y unos al fin y al cabo), y que una vez alcanzado el destinatario, el mensaje se volverá a recomponer para que el receptor pueda leerlo correctamente. Y todo ese viaje de unos y ceros tiene lugar en apenas unos milisegundos y a través de cables transoceánicos que conectan los continentes. Claro, en mi primer intento por explicar como viaja la información digital a través de Internet, mis alumnos no creen lo que cuento, hasta que hago un pequeño experimento de transmisión de datos y muestro un par de fotografías de técnicos submarinistas arreglando los cables por debajo del mar. Ahí empiezan a dar credibilidad a la historia. Aunque siempre hay algún escéptico.

Por mencionar solo algunos ejemplos, son objetivos en la Educación Secundaria comprender los conceptos de informática, de procesamiento de la información digital, el funcionamiento básico del hardware y el software, las formas de conexión y comunicación entre dispositivos o las unidades de medida de la capacidad de almacenamiento digital. Si se trata de explicar tamaños de archivo, aparecen unidades como el megabyte, gigabyte o terabyte. Si hablamos de velocidad de transmisión de datos, aparecen medidas como Mbps (Megabits por segundo). Y un alumno debe conocer y comprender estos conceptos y sus diferencias, entre otros motivos para poder explicar qué significa aquello de “no me quedan datos” o “Internet me va lento en mi móvil». Bits, ceros, unos: de eso va el asunto.

El sistema binario se introduce mejor en clase cuando se compara con el sistema decimal (el que llevan los alumnos aprendiendo toda su vida en matemáticas). Al principio, basta con que comprendan que se puede realizar una conversión del sistema binario al decimal, y viceversa. Más tarde, en cursos posteriores, irán descubriendo aplicaciones del código de unos y ceros (en redes de ordenadores, codificación de colores, etc.).

Comparto en este artículo un par de vídeos que utilizo en el aula para explicar el proceso de conversión. Ambos pertenecen a un archivo de presentación de la unidad didáctica, en el que hay animaciones en una misma diapositiva que explican el mecanismo paso a paso. Básicamente he convertido las animaciones a formato vídeo.

Recomiendo echar un vistazo también al vídeo de Eduardo Sáenz de Cabezón (@edusadeci) en Derivando, explicando el código binario.

Y no podía faltar el popular «chiste»:

«Hay 10 tipos de personas: las que saben binario y las que no»

Fotografía | «Binary code» de Christiaan Colen en Flickr
Video #1 | «Binary to Decimal» de Enrique Benimeli en Vimeo
Video #2 | «Decimal to Binary» de Enrique Benimeli en Vimeo
Vídeo #3 | «El código binario | Explicación» de Derivando en YouTube

Programa y vencerás: Scratch, números primos y divisores

Hace ya casi tres años desde mi último post en este blog. En él recordaba las 250 entradas publicadas desde 2010 y resumía lo más visitado desde entonces. Y cerraba una etapa.

Hoy vuelvo por aquí, no sé si con la intención de retomar el blog (mientras lo escribo lo medito por primera vez…) o simplemente para publicar un recurso con el que estaba trabajando esta tarde y que he considerado oportuno compartir. ¿Dónde?, he pensado. Pues en Esfera TIC. Este blog era el lugar adecuado. Así de sencillo. El espacio está, y la voluntad también, así que ahí va.

Ya desde el año pasado trabajamos en algunos cursos de la ESO con Scratch, un lenguaje de programación visual diseñado especialmente para escolares. Los conceptos de programación son los mismos que en otros lenguajes “de verdad” (salvando las distancias, claro está), solo que en Scratch se presentan de forma muy visual para el alumno, eliminando toda sintaxis caprichosa, que siempre es fuente de errores innecesarios para un alumno al que lo único que debe preocuparle es comprender los fundamentos de la programación. A través de piezas de puzzle encajadas de la forma adecuada, se consigue que la aplicación funcione según se ha diseñado (mientras escribo esta incompleta definición de Scratch, veo ya la necesidad de dedicarle un artículo a este lenguaje…).

Pero cómo avisaba, solo pasaba por aquí para compartir una pequeña aplicación programada con Scratch y que puede resultar útil, tanto para asignaturas de informática como de matemáticas. El programa es capaz de determinar si un número es primo o no, calculando todos sus divisores. Lo hace por fuerza bruta, probando todos los posibles divisores. Para números muy grandes, la resolución puede llevar un tiempo.

Cada vez que he terminado programando algún concepto, técnica o método matemático (sobre todo esos cálculos básicos que todos hemos estudiado en algún momento), tengo más claro que la mejor forma de comprender el funcionamiento de algo es diseñando su algoritmo, programándolo y probándolo.

App Scratch | «¿Es ‘n’ un número primo? Cálculo de divisores de un número»

«Matemarketing» en el aula: acercando las matemáticas al mundo real

Las matemáticas se presentan entre todas las asignaturas como el hueso duro de roer, la materia difícil, aquella que no se sabe muy bien para qué va a servir y que en ocasiones no tiene una aparente aplicación directa. Bien por tradición o quizá porque realmente algo de verdad hay en ello. ¿Raíces cuadradas? ¿expresiones algebraicas? ¿funciones? ¿ecuaciones? «¿Y eso para que me va a servir?» son preguntas a las que nos hemos tenido que enfrentar en clase más de una vez. Y con razón: algo de marketing les falta a las matemáticas para «venderse» algo mejor.

Las matemáticas de la vida

Una predicción meteorológica, el encendido de una lámpara, el lanzamiento de unos dados, la formación de un copo de nieve, el giro de una peonza, el aumento de una lupa, el crecimiento de una planta, la aerodinámica del ala de un avión o el envío de datos en una red informática. Todos ellos son fenómenos físicos que tienen su particular formulación matemática.

En el vídeo «Beauty of Mathematics» creado por Yann Pineill y Nicolas Lefaucheux, podemos observar estos y otros fenómenos acompañados de sus «expresiones» matemáticas. El vídeo sin embargo, resta importancia a la formulación que hay detrás ellos, para resaltar la belleza del objeto o el fenómeno que representan.

Las matemáticas, vistas correctamente, no solo poseen verdad, sino la belleza suprema. Una belleza fría y austera, sin los magníficos atavíos de la pintura o la música.

Por su parte, Ian Stewart, profesor de Matemáticas de la Universidad de Warwick, lo llama «Las matemáticas de la vida», y con este mismo título aborda en uno de sus libros la presencia del mundo matemático en la naturaleza.

«Las matemáticas de la vida» de Ian StewartComo buen escritor y divulgador científico, relata de forma muy amena y didáctica todo tipo de cuestiones que relacionan las matemáticas y la biología, y cómo juntas, estas dos disciplinas están resolviendo con éxito algunos de los problemas científicos que han acompañado a los investigadores durante años.

Sin entrar en detalles matemáticos que los alumnos en determinados cursos no pueden comprender todavía, estoy seguro de que alguno de estos temas puede ser un buen punto de partida para motivar las primeras clases de cualquier unidad didáctica. Es cierto que algunos libros de texto ya dedican alguno de sus apartados a introducir algunas curiosidades relacionadas con los contenidos. Páginas que, por otro lado, suelen pasarse por alto.

Un nuevo look para las matemáticas

No se trata en ningún caso de realizar sin más actividades de introducción-motivación, exponiendo curiosidades varias y vídeos espectaculares. Si se presentan aislados, sin ninguna conexión con las siguientes sesiones de clase, dedicar tiempo a preparar estos materiales será un esfuerzo en balde. Con un poco de suerte habremos conseguido impresionar a nuestro alumnado, pero poco más.

El planteamiento ideal en una asignatura como las matemáticas sería mantener esta curiosidad a través de la resolución de problemas. Es verdad que no siempre resulta fácil de llevar a cabo, especialmente en aquellos temas que se presentan más «teóricos». Sin embargo, la clave puede estar en un «cambio de look» de los contenidos. Y esto es lo que propone precisamente Dan Meyer en su charla TED hace ya cuatro años, pero que merece la pena recordar.

Dan Meyer, que enseña matemáticas en secundaria, afirma que  «le vende un producto a un mercado que no lo quiere, pero que debe adquirirlo porque la ley lo obliga». Le preocupa que los alumnos adquieran conocimientos que con el tiempo pronto olvidarán. Identifica varios síntomas de que algo no va bien: en cada una de sus clases ha detectado siempre una falta de iniciativa y perseverancia por parte de sus estudiantes, que tienen dificultades para retener ideas y que muestran cierta aversión a los problemas descriptivos. Alumnos que no esperan otra cosa que «la fórmula» que resuelva la situación que se les plantea. Muchos de los contenidos que aparecen en los libros de texto, siguen un patrón similar, que fomenta precisamente esta actitud de falta de constancia y decisión por parte de los estudiantes ante planteamientos matemáticos. Teoría y ejercicios en cada página.

Dan sugiere que las matemáticas necesitan un «cambio de imagen», un nuevo look. Y para ello selecciona los elementos teóricos y actividades más importantes de cada tema y los reformula para que fortalezcan precisamente el razonamiento matemático y la resolución de problemas, planteando situaciones de la vida real, donde los alumnos realmente sientan que lo que están haciendo es útil. En la charla presenta algunos ejemplos. Al fin y al cabo, concluye, las matemáticas «son el vocabulario de tu propia intuición».

Problemas reales, mentes curiosas

Los alumnos necesitan explorar problemas por los que sientan curiosidad. Lo deseable sería poder plantearles situaciones  que provoquen en ellos la necesidad de formular cuestiones por sí mismos. Estudiantes con inquietud por dar respuestas a sus preguntas; ese sería el punto de partida ideal en cualquier clase de matemáticas.

Los número enteros son infinitos, pero… ¿hay más números pares o impares? Cuestiones como de este tipo seguro que pueden servir al menos para que a alguien «le pique la curiosidad».

Esta y otras muchas charlas TED tratan temas muy interesantes sobre el mundo de las matemáticas y que no dejan indiferente a nadie.

Animación 3D, robótica y otras tecnologías con muchas matemáticas

Y en este intento de hacer un poco de «marketing de las matemáticas», y especialmente en los primeros cursos de secundaria, la tecnología y la informática se presentan como el el mejor «gancho comercial», para responder a tantas preguntas sobre la aplicación práctica de las matemáticas. La robótica, el diseño gráfico, la animación 3D o la creación de videojuegos, son campos de aplicación en los que las matemáticas no solo están muy presentes, sino que son s.u fundamento. Tanto es así, que sin ellas simplemente no existirían.

James Pulley Sullivan

En la charla «Pixar: The math behind the movies», Tony DeRose, que dirige el equipo de investigación de Pixar, expone algunos de los fundamentos matemáticos que hay detrás de algunas escenas de películas de animación de la empresa.

También en la GPU Technology Conference, encontramos charlas en las que se demuestra la potencia de las más novedosas unidades procesamiento gráfico (GPU) del mercado. Por supuesto, «debajo» de estas tecnologías hay muchas matemáticas, mucha geometría. En particular, en esta demostración de Pixar Graphics, podemos comprobar la versatilidad que tiene un programa informático para manejar una infinidad de variables matemáticas necesarias para crear las animaciones 3D que tanto nos entretienen.

O ver cómo un robot es capaz de resolver un cubo de Rubik en apenas unos segundos, es una buena demostración de matemática aplicada.

«La belleza de las matemáticas» | «Beauty of Mathematics» de Yann Pineill & Nicolas Lefaucheux
Libro | «Las matemáticas de la vida» de Ian Stewart
Charla TED | «Las clases de matemáticas necesitan un cambio de imagen» de Dan Meyer
El infinito | «How big is infinity?» de Dennis Wildfogel
TED Blog | «8 math talks to blow your mind» de TEDTalks
Pixar 3D | «Pixar: The math behind the movies» de Tony DeRose
GTC Conference | «Presto demonstration at NVIDIA’s»
Fotografía «matemáticas» | «Mathematics *Explore April 24, 2013 #4* (at one time)» de Tom Brown en Flickr

Ecuaciones con LibreOffice y WolframAlpha y cómo matar dos pájaros de un tiro

Empieza la clase de matemáticas. Me dispongo a proyectar algunos ejercicios de ecuaciones de primer grado con fracciones. Estamos terminando el tema y estos últimos días los dedicamos a repasar la unidad con ejercicios para el próximo examen. Un libro sobre la mesa con nuevos ejercicios que plantear… y copiar: ¿pizarra o proyector…?

Confieso que prefiero «escribir» las expresiones matemáticas en digital, utilizando un editor de fórmulas: LibreOffice/OpenOffice Math. Y en mi caso particular, después de adquirir cierta práctica, reconozco que tardo bastante menos tiempo en escribir las fórmulas con el teclado del ordenador que a mano. Por otro lado, una vez escritas las fórmulas, las puedo guardar, para modificarlas posteriormente y plantear nuevos ejercicios similares, apenas cambiando algunos términos. Además, las expresiones matemáticas proyectadas en el aula, se ven infinitamente mejor: con más luz y mayor nitidez. Yo solo le veo ventajas a trabajar en digital.

Ecuación de primer grado con OpenOffice
Ecuación de primer grado con OpenOffice

Además, para este tema en concreto sobre ecuaciones, es bastante habitual tener que comprobar rápidamente alguna solución. Y es aquí donde entra en juego el buscador de respuestas Wolfram|Alpha, que tanto me ayuda. Me declaro fan absoluto desde hace años y es por ello que he escrito bastante sobre él en este blog.

Si escribir las fórmulas con un editor de ecuaciones es ya de por sí una gran idea, cuando descubrimos que Wolfram|Alpha «entiende» la sintaxis básica de las expresiones matemáticas de LibreOffice/OpenOffice Math, trabajar en «modo digital» con este tipo de recursos resulta entonces realmente productivo. «Matar dos pájaros de un tiro» que decía en el título de este artículo. Escribimos la ecuación con OpenOffice Math, copiamos y pegamos la expresión en Wolfram|Alpha, ¡y listo! Ecuación «dibujada» y resuelta.

Ecuación de primera grado con WolframAlpha
Ecuación de primer grado con WolframAlpha

He preparado un documento que resume en una página la sintaxis básica para escribir con LibreOffice/OpenOffice Math las expresiones matemáticas más comunes. En una especie de «chuleta», se detalla la representación de operaciones y símbolos especiales necesarios para «dibujar» ecuaciones y otras expresiones matemáticas.

Edición de Fórmulas con LibreOffice/OpenOffice

Es posible que algunas expresiones o símbolos de OpenOffice/LibreOffice diseñadas exclusivamente para aspectos de formato (paréntesis graduables, palabras como «cdot» y otros símbolos especiales) no sean interpretados por Wolfram|Alpha. Sin embargo, las expresiones aritméticas y algebraicas básicas son compatibles con el buscador de respuestas.

Documentos | «Fórmulas con OpenOffice/LibreOffice – Sintaxis Básica» (PDF, 1 pág.)
Descargar programas | LibreOffice | Apache OpenOffice
Wolfram|Alpha | www.wolframalpha.com
En Tiching | http://es.tiching.com/120588
Fotografía «pizarra» | «Business person against the blackboard» de Hernani Larrea en Flickr

5 vídeotutoriales y 12 ejercicios de estadística: cálculo de la media, la moda y la mediana

Imaginemos las siguientes situaciones. Toda ellas plantean una serie de cuestiones.

(1) Un grupo de alumnos de una clase de 3ºA de ESO realiza dos exámenes de historia durante el primer trimestre ¿cómo podemos «medir» el progreso general de la clase en el segundo examen respecto a los resultados del primero? ¿cómo podemos «comparar» los resultados con los del grupo B?

(2) Para la asignatura de Informática se propone a cada alumno la realización de un trabajo sobre un tema a elegir de una lista de ocho diferentes. Tras la elección de cada uno, ¿cuál el tema más popular entre los alumnos»

(3) Estudiamos la altura de los jugadores de un equipo de baloncesto. ¿Qué medida puedo utilizar para comparar la «altura del equipo» con la de otro?

Parámetros estadísticos

Para cada una de las preguntas planteadas anteriormente necesitamos un indicador, un parámetro, una medida, un punto de referencia para poder interpretar cómodamente los distintos grupos de datos y ofrecer una respuesta en forma numérica.

En particular, para este tipo de cuestiones, podemos calcular, según cada caso, tres parámetros de centralización diferentes: la media, la moda o la mediana. Son una herramienta que nos permite analizar mejor los datos, con el fin de comparar o tomar algún tipo de decisión.

Los siguientes vídeos pertenecen a Educatina, una biblioteca de vídeos educativos sobre una gran variedad de materias y disponible de forma gratuita en Internet. El primero de ellos es una introducción a los parámetros estadísticos.

Media aritmética

La media aritmética, también llamada simplemente media o promedio, es el valor característico de una serie de datos y se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. El segundo vídeo explica cómo se realiza el cálculo de la media aritmética.

Mediana

La mediana representa el valor de la variable estadística de posición central en un conjunto de datos ordenados. El conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra. Es decir, la mediana deja a ambos lados el mismo número de datos. Si existen valores extremos, su cálculo no se ve afectado.

El tercer vídeo está dedicado a explicar el proceso de cálculo de la mediana.

Moda

La moda es un parámetro de centralización muy sencillo de calcular y que corresponde con el valor que tiene mayor frecuencia absoluta en una distribución de datos. Es decir, el valor que más se repite.

Una distribución es bimodal cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima. Una distribución trimodal de los datos es aquella en la que encontramos tres modas. Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.

El cuarto vídeo presenta el cálculo de la moda en un grupo de datos.

Problema resuelto

El último vídeo de la biblioteca Educatina presenta un ejemplo completo de problema de estadística en el que se calculan los tres parámetros de centralización comentados anteriormente: la media, la moda y la mediana.

Un pediatra ha obtenido una tabla con los meses de edad a los que 50 niños empezaron a caminar. El objetivo es estudiar dicha tabla realizando los cálculos de media, moda y mediana.

Ejercicios de media, moda y mediana

A continuación comparto este documento con ejercicios de cálculo de parámetros de centralización.

Ejercicios sobre parámetros de centralización

Educatina.com | Biblioteca de vídeos educativos
5vídeos | Intro | Media | Moda | Mediana | Problema
Ejercicios (PDF, 2 páginas) | Media, moda y mediana
Fotografía | «statistics often lie» de mac steve en Flickr

Arte y matemáticas: números escondidos en el Partenón, la Mona Lisa y la manzana de Apple

Contaba no hace mucho cómo las matemáticas están presentes en la naturaleza, mucho más de lo que imaginamos. Formas, patrones, proporciones; infinidad de elementos surgidos de forma completamente natural que siguen un orden matemático y que son verdaderas demostraciones de belleza.

Identidad de Euler

Siempre que se habla de belleza matemática aparece la famosa «identidad de Euler». Esta conocida fórmula del matemático más importante del siglo XVIII, está considerada la más bella de la historia por relacionar cinco números muy utilizados en la historia de las matemáticas y que además pertenecen a distintas ramas de la misma.

También las matemáticas estén presentes en diferentes expresiones artísticas. Podemos encontrar referencias matemáticas en muchas obras pictóricas y arquitectónicas. En este caso han sido los propios artistas los que desde hace siglos han considerado símbolo de belleza utilizar determinadas proporciones u organizar los elementos que componen la obra siguiendo un orden matemático. Este es el caso de obras como «La Mona Lisa» de Leonardo Da Vinci o «Las Meninas» de Velázquez. Ambas obras esconden el «número áureo», también llamado «divina propoción». Pero incluso diseños más recientes como los utilizados por la empresa de informática Apple, utilizan también este «mágico» número, por ejemplo en las proporciones del logotipo de iCloud.

¿Por qué es tan especial el «número áureo»?

En 300 a.C., Euclides, el padre de la geometría, descubre una proporción divina que rige todas las cosas bellas: el número áureo, representado por la letra griega φ (fi), en honor al escultor griego Fidias, que utilizaba este valor estético en sus esculturas.

El número áureo es un número irracional.

1.61803398874989484820458683436563811772030917980576286 2135448622705260462818902449707207204189391137484754088 0753868917521266338622235369317931800607667263544333890 8659593958290563832266131992829026788067520…

¿Cómo se puede obtener el número de oro?

El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b que cumplen una determinada relación: la longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más corto b.

Aunque probablemente, la forma más curiosa de hallar una aproximación del mágico número áureo es a partir de la sucesión de Fibonacci (de la que ya hablé en el artículo «Huracanes, conejos y piñas: matemáticas en la naturaleza y cómo calcular la sucesión de Fibonacci»). Se trataría de realizar una sencilla operación sobre pares de número consecutivos en la sucesión de Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17111, 28657, 46638, … Por ejemplo, utilizando el siguiente programa en lenguaje Java genera los números de la sucesión de Fibonacci:

Programa Java que cálcula la sucesión de Fibonacci y el número áureo

vamos calculando también en casa paso el cociente entre un valor y el anterior (3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, …). Observaremos que el valor de la división se va aproximando cada vez más al número áureo: 1.61803398874989484820458…

Salida del programa Java que cálculo la sucesión de Fibonacci y la aproximación al número áureo.

A partir de la evolución de un rectángulo dorado, que posee una proporcionalidad entre sus lados igual a la razón aúrea, podemos construir una espiral áurea, como las que aparecen «escondidas» en muchas obras de arte.

El número áureo en la arquitectura

El número áureo está presente en el diseño de la construcción del Partenón de Atenas. Si tomamos algunas medidas, podremos comprobar que la base frontal es la altura multiplicada por el número áureo (1,61803398). Y si estudiamos otros elementos de la construcción, la divina proporción vuelve a aparecer.

El número áureo en la pintura

En una de las obras de de Leonardo Da Vinci podemos encontrar una espiral áurea, delimitando las proporciones de «La Mona Lisa».

También en la famosa obra de Velázquez, «Las Meninas», aparecen varias referencias matemáticas, como por ejemplo los tres triángulos isósceles que marcan la posición de «las meninas», y también la espiral dorada.

La presencia de la espiral tiene una clara intención dentro del cuadro del pintor español:

Velázquez, en la composición áurea de su cuadro Las Meninas, lo ordena con la mencionada espiral, cuyo centro está situado sobre el pecho de la infanta Margarita, marcando con ello el centro visual de máximo interés y el significado simbólico del lugar reservado para los escogidos, como era tradición en Europa, que el monarca ocupara el lugar central y de privilegio en las ceremonias. No hay que olvidar que en el momento de la creación de la pintura, la infanta Margarita era la persona más indicada como sucesora al trono, ya que Felipe IV no tenía en ese momento ningún hijo varón.

La divina proporción en diseños modernos

Como comenta el blog Fotomat sobre fotografía y matemáticas, el logotipo de iCloud de Apple utiliza las proporciones áureas también. Pero no queda ahí la obsesión de los de Apple por la perfección. Indagando un poco más sobre tema, podéis descubrir que la famosa manzana utiliza proporciones extraídas de la sucesión de Fibonacci. Increíble.

«Los números son bellos» del programa tres14

Para comprender mejor toda la relación entre arte y matemáticas, recomiendo este reportaje del programa tres14, «Los números son bellos», en el que entrevistan a cuatro matemáticos. A todos ellos se les plantea la siguiente pregunta: «¿Qué tienen en común arte y matemáticas?». Francisco Martín Casalderrey y Capi Corrales hablan sobre mirar el arte con ojos matemáticos, Fernando Corbalán, sobre la divina proporción y Sebastià Xambó y Antonio J. Durán, sobre el arte en las matemáticas, su poesía y su belleza.

Reportaje «Los números son bellos» del programa tres14 de La2 de RTVE

Programa Java en rextester.com | Cálculo del número áureo
La2 de rtve.es | tres14 – Los números son bellos

«Why U», tutoriales animados en inglés sobre matemáticas y ciencias

Cuántas veces nos empeñamos, sin éxito, en encontrar el recurso que realmente necesitamos. En ocasiones no hay forma de dar con él. Bien, empiezo a tener la teoría de que los buenos recursos aparecen cuando uno navega por Internet buscando algo completamente diferente. Así ha sido como he conocido «Why U». A partir de un vídeo muy didáctico y entretenido sobre los números irracionales, descubro que viene acompañado de una serie completa de videotutoriales animados sobre matemáticas. Eso sí, en inglés.

¿Qué es «Why U»?

«Why U» es una colección de tutoriales sobre matemáticas y ciencias. El material está diseñado para ser utilizado como material complementario, especialmente en la educación secundaria y universitaria. La filosofía de los recursos se centra más en responder a la pregunta «¿por qué?» más que a la pregunta «¿cómo?». Así que en lugar de presentar fórmulas y técnicas de resolución de problemas, el objetivo es comprender los conceptos en los que se basan las reglas de las matemáticas y las ciencias.

«Why U» es un proyecto financiado por la «Goldman Charitable Foundation» en colaboración con la Universidad de Florida Central.

En cada uno de los vídeos se puede apreciar no sólo un gran trabajo en la creación y edición del material audiovisual, sino también en la organización y presentación de los conceptos. Hasta le fecha hay publicadas ya decenas de vídeos tanto en el canal de YouTube de «Why U» como en la propia web del proyecto. Os dejo un ejemplo de tutorial sobre los números irracionales, que es como llegué a descubrir este fantástico recurso.

Desde el origen de los números, pasando por las fracciones, propiedades de las operaciones algebraicas, métodos de simplificación de expresiones, números primos, etc. Los bloques dedicados al álgebra cuentan ya con más de 40 vídeos.

www.whyu.org | Why U – Animated Math Tutorials
YouTube | Canal «Why U»

Huracanes, conejos y piñas: matemáticas en la naturaleza y cómo calcular la sucesión de Fibonacci

Las matemáticas están presentes en la naturaleza, mucho más de lo que podemos imaginar. Formas, proporciones y crecimientos; infinidad de elementos naturales siguen un orden matemático, un patrón. Uno de los casos de estudio más curiosos es la aparición de la sucesión de Fibonacci en muchos elementos naturales.

Por ejemplo, el pasado 28 de octubre a las 6:45 PM EDST, el decimoctavo ciclón tropical de la temporada 2012 adquiría la forma de la espiral de Fibonacci. Era el huracán Sandy.

También es curioso comprobar que si observamos las hileras espirales de escamas en una piña, se pueden contar 8 espirales enrollándose hacia la izquierda y 13 espirales que lo hacen en sentido contrario. O también 13 hacia la izquierda y 21 hacia la derecha. También se pueden dar otras parejas de números, pero en cualquier caso se tratan de números consecutivos en la famosa sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

La longitud de tus falanges también sigue la sucesión de Fibonacci:

¿Qué es la sucesión de Fibonacci?

En matemáticas, una sucesión es una lista ordenada de objetos, cada uno de ellos denominado término, elemento o miembro de la sucesión. Podríamos encontrar (e inventar) sucesiones, finitas e infinitas, pero de todas ellas, probablemente una de las que más curiosidad despierta es la sucesión de Fibonacci. De hecho, el interés por esta famosa serie de números no sólo tiene que ver con sus aplicaciones directas en el mundo de las ciencias de la computación y las matemáticas, sino por estar presente, como comentaba, en muchos elementos de la naturaleza.

La sucesión de Fibonacci corresponde a la sucesión infinita de números naturales en la que cada elemento es la suma de los dos anteriores:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17111, 28657, 46638, …

En ocasiones y de forma errónea, se hace referencia a esta secuencia de números como «serie de Fibonacci», sin embargo, una serie matemática es un concepto que tiene que ver con la suma de los términos de una sucesión infinita.

Aunque la sucesión ya había sido descubierta por matemáticos indios, fue Leonardo de Pisa (1170-1250), matemático italiano del siglo XIII conocido como Fibonacci, quien describió la sucesión como solución a un problema de cría de conejos.

El problema decía:

Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también.

En un lenguaje más actual:

  • Al comienzo del primer mes nace una pareja de conejos y a final de mes se cruzan.
  • Al final del segundo mes, la pareja A da a luz a la pareja B y se vuelve a cruzar la pareja A.
  • Al final de tercer mes, la pareja A da a luz a la pareja C y se cruzan las parejas A y B.
  • Al final del cuarto mes, las parejas A y B dan a luz a las parejas D y E y se cruzan las parejas A, B y C.
  • Al final del quinto mes, las parejas A, B y C dan a luz a las parejas F, G y H y se cruzan las parejas A, B, C, D y E.
  • Y así sucesivamente…

Es decir, las parejas se irían reproduciendo con el siguiente esquema:

  • Fin del mes 0: 0 parejas
  • Comienzo del primer mes: 1 pareja AA
  • Después de 1 mes: 1 pareja AA
  • Después de 2 meses: 2 parejas AA BB
  • Después de 3 meses: 3 parejas AA CC BB
  • Después de 4 meses: 5 parejas AA DD CC BB EE
  • Después de 5 meses: 8 parejas AA FF DD CC HH BB GG EE
  • Después de 6 meses: 13 parejas AA II FF DD LL CC KK HH BB JJ GG EE MM

En cada paso se indica en negrita la pareja de conejos que nace, a la derecha de la pareja adulta (después de un mes) que se han cruzado. Siguiendo la sucesión, es sencillo calcular el número de conejos después de «n» meses.

Podemos observar en la sucesión como el número de parejas de conejos en cada paso es la suma del número de parejas en los dos meses anteriores. Por ejemplo, después de 6 meses tenemos 13 parejas, que es la suma de 5 y 8 (el número de parejas en los meses 4 y 5).

Cálculo del elemento «n» en la sucesión de Fibonacci: F(n)

Para conocer el valor del elemento en cualquier posición de la sucesión, hay varios algoritmos o métodos, que además podemos implementar prácticamente con cualquier lenguaje de programación actual. Si utilizamos la propia definición de la sucesión de Fibonacci, podríamos programar la siguiente función:

La función sería válida para valores de «n» mayores o iguales que 2. Para n=0 la función vale 0, y para n=1 la función vale 1. Observamos que la función se define utilizando la propia definición de la función. Es una definición recursiva de la función y con los lenguajes de programación más extendidos (Java, C++, etc.), desde hace mucho tiempo podemos expresar este tipo de funciones.

Versión recursiva de la función Fibonacci

Para implementar la función Fibonacci con una definición recursiva, simplemente tomamos la función y la expresamos con instrucciones del lenguaje de programación que hemos elegido, en este caso Java. Podemos ver la definición recursiva en la línea 48.

El inconveniente de este tipo de definición recursiva es el número de sumas que se efectúan: concretamente f(n-1)-1 sumas. Es decir, en varios pasos del proceso se repiten cálculos (aunque con estrategias de programación dinámica se pondría solución a este problema).

Versión iterativa de la función Fibonacci

Otro enfoque para abordar el problema es implementar una versión iterativa del problema, con la que solamente es necesario realizar «n» sumas y no «f(n-1)-1» sumas, como en el caso recursivo.  Es decir, en la versión iterativa se va obteniendo en orden y paso a paso cada uno de los elementos de la sucesión en función de los 2 anteriores. Lógicamente, para poder empezar, es necesario definir los valores de los dos primeros elementos de la sucesión: 0 y 1. A continuación se suma 0+1=1 y se obtiene la sucesión 0,1,1. Se vuelven a sumar los dos últimos elementos 1+1=2 y se obtiene la sucesión 0,1,1,2. Se procede de la misma forma con el 1 y el 2, 1+2=3 y se añade a la sucesión: 0,1,1,2,3. Estos pasos son exactamente los que están programados en el código Java que se muestra a continuación. Se puede observar el cálculo de la suma de los dos elementos anteriores en la línea 38.

Fibonacci y diseño

También la sucesión de Fibonacci llega al diseño de interiores. Podéis echarle un vistazo a este curioso armario con una distribución de cajones siguiendo la famosa sucesión. Lo compartía el blog de matemáticas Gaussianos.

Y un último intento de explicar la sucesión de Fibonacci:

Wikipedia | Sucesión de Fibonacci
Wolfram|Alpha | Primeros números de la sucesión
Programa Java (rextester) | Versión iterativa | Versión recursiva
Fotografía | Fibonacci Cabinet de Utopia Architecture & Design (vía Gaussianos)

IPv6 y el Internet de las cosas: cuestión de combinatoria

El pasado 6 de junio de 2012 a las 00:00 GMT, los principales proveedores de servicios de Internet y compañías web habilitaron permanentemente IPv6 en sus productos y servicios. El Protocolo de Internet version 6 (IPv6) es una versión del protocolo IP,  diseñada para reemplazar a IP version 4 (IPv4), que actualmente está implementado en la gran mayoría de dispositivos que acceden a Internet.

Una dirección IP es un número que identifica de forma lógica un dispositivo en una red. Del mismo modo que en algunas ciudades la cantidad de números de teléfono (que identifican cada hogar o empresa) se ha ido agotando, en Internet ha sucedido exactamente lo mismo. Los más de 4000 millones de direcciones que ofrecía la versión IPv4 ya no son suficientes para abastecer la demanda de dispositivos de todo tipo que acceden a Internet. Con la aparición de IPv6, queda solucionado el problema. Con ella, hay disponibles 670 mil billones de direcciones por cada milímetro cuadrado de la superficie de La Tierra.

Vint Cerf, considerado uno de los padres de Internet, habla sobre IPv6. Transcribo y comento sus palabras:

Imagina un móvil que no pudiera comunicarse con los ordenadores conectados a Internet. No podrías buscar en Google ni enviar y recibir correos electrónicos. Con el tiempo, han aparecido más dispositivos que también necesitan una dirección para conectarse a la Web.

Para conectarse a Internet, cada equipo en la red de ordenadores tiene asignado un código llamado dirección IP compuesto por 4 grupos de números y cada número puede tener un valor entre 0 y 255. La dirección debe ser única en la red y permite localizar y acceder a cada equipo. Un ejemplo de dirección en su versión IPv4 sería 93.87.123.47.

Para codificar en binario cada número decimal de cada grupo, basta con 1 byte en la memoria del ordenador 8 bits. Podemos ver un ejemplo en la siguiente figura:

Calcular la cantidad de números que se pueden codificar con 8 bits es un sencillo problema de combinatoria, en el que disponemos de 2 elementos (0 y 1) que podemos colocar en 8 posiciones, pudiendo repetir el elemento, lógicamente. En concreto, se trata de un problema de variaciones con repetición, cuya fórmula ya he compartido en este blog en algunas de las entradas sobre combinatoria y probabilidad.

Y, considerando números codificados con 32 bits, 4 grupos de 8 bits, que es la estructura de una dirección IP en su versión IPv4, ¿a cuántos ordenadores podríamos asignar una dirección diferente? Bien, tan sólo habría que volver a aplicar la misma fórmula, con valores de m=2 y n=32.

Vint Cerf comenta cómo el número de direcciones que permitía asignar IPv4 parecía suficiente cuando se diseñó el protocolo:

Internet se diseñó en 1973 y se lanzó en 1983. Y, durante ese período de tiempo, lo consideramos un experimento. Así que asignamos espacio para direcciones, como números de teléfono, suficiente para definir 4.300 millones de puntos de terminación en Internet. Puedo decirte que en 1983 parecía que habría espacio para siempre, pero te recuerdo que era un experimento. La cuestión es que el experimento nunca terminó.

Aunque 4300 millones de direcciones puede parecer un número muy grande, las direcciones disponibles en la reserva global de IANA (Agencia Internacional de Asignación de Números de Internet) pertenecientes al protocolo IPv4 se agotaron el jueves 3 de Febrero de 2011 oficialmente. Esta claro que no se tuvo el cuento el enorme crecimiento que iba a tener Internet. Con 4300 millones de direcciones no es posible dar acceso a cada persona del planeta, a cada móvil, a cada hogar, a cada electrodoméstico, etc. Lo que se conoce como «Internet de las cosas». Y cuenta Vint Cerf que para solucionar este problema, aparece IPv6.

En 1996, diseñamos un formato diferente para paquetes de Internet denominado IPv6, que tiene 128 bits de espacio para direcciones, es decir, 3,4 x 10^38 direcciones. Para que te hagas una idea más clara, esto supone 340 sextillones de direcciones. Ya hay 5.500 millones de móviles en el mundo. Si todos tuvieran direcciones de Internet, agotarían de forma instantánea el espacio de IPv4, que como he dicho solo permite 4.300 millones de direcciones.

Utilizando de nuevo la fórmula de variaciones, comprobamos que con 128 bits para codificar cada dirección, podemos dar acceso a 340 sextillones de direcciones. Realizamos el cálculo con WolframAlpha.

Y concluye Vint Cerf:

Por tanto, 16 años después, no solo hemos agotado el espacio de direcciones IPv4, sino que nos vemos obligados a implementar el nuevo protocolo para permitir el crecimiento de la red. Si no lo implementamos, se agotará el espacio de direcciones IPv4, y los usuarios no podrán acceder a Internet porque no tendrán direcciones que puedan utilizar.

Y eso supone que Internet deje de crecer. Si en 1973 hubiese sabido lo que iba a pasar en 2013, hubiese insistido en crear un espacio para direcciones mucho mayor para haber evitado pasar por esta migración. El 6 de junio de este año, todos (incluidos Google y otros proveedores de Internet) vamos a activar la función IPv6. Se trata del lanzamiento de una Internet nueva y de mayor tamaño.

Pregunta a tu proveedor de servicios de Internet (ISP) cuándo utilizarás IPv6.

Con esta nueva versión, hay disponibles cerca 670 mil billones de direcciones por cada milímetro cuadrado de la superficie de La Tierra. Más que suficientes para hacer más real el «Internet de las cosas».

España | www.ipv6.es
Enlaces | IPv6, en Wikipedia, la enciclopedia libre
Vídeo | The new, larger version of the Internet: IPv6 (de Vint Cerf)
Recomiendo leer | Ampliando Internet: 340 sextillones de direcciones IP
Imagen cables | Patched In de Ken Fager

Combinatoria (II). Fórmulas de combinaciones, variaciones y permutaciones

¿Cuántos grupos diferentes de 4 personas podemos formar en una clase con 29 alumnos? ¿Cuántos formas diferentes hay de organizar los 9 libros de una estantería? ¿Cuántas clasificaciones diferentes (oro, plata y bronce) puede haber en una prueba de 100 metro lisos?

En la primera entrega del tema de combinatoria, compartía unos apuntes en los que resumía varias estrategias para conocer si nos enfrentamos a un problema de combinaciones, variaciones o permutaciones. Este es quizá el paso más complicado en la resolución de ejercicios de recuento, para aplicar generalmente en problemas de probabilidad. El siguiente paso es sencillamente aplicar las fórmulas correspondientes a cada tipo de problema de combinatoria, y es en esta segunda entrega de los apuntes donde explico cada una de ellas (para los casos sin repetición de elementos).

Apuntes | Ficha 2. Combinatoria (II). Fórmulas de combinaciones, variaciones y permutaciones
En Tiching | Combinatoria (II). Fórmulas de combinaciones, variaciones y permutaciones
Imagen | 100 Meters de Ken Slade en Flickr