5 vídeotutoriales y 12 ejercicios de estadística: cálculo de la media, la moda y la mediana

Imaginemos las siguientes situaciones. Toda ellas plantean una serie de cuestiones.

(1) Un grupo de alumnos de una clase de 3ºA de ESO realiza dos exámenes de historia durante el primer trimestre ¿cómo podemos «medir» el progreso general de la clase en el segundo examen respecto a los resultados del primero? ¿cómo podemos «comparar» los resultados con los del grupo B?

(2) Para la asignatura de Informática se propone a cada alumno la realización de un trabajo sobre un tema a elegir de una lista de ocho diferentes. Tras la elección de cada uno, ¿cuál el tema más popular entre los alumnos»

(3) Estudiamos la altura de los jugadores de un equipo de baloncesto. ¿Qué medida puedo utilizar para comparar la «altura del equipo» con la de otro?

Parámetros estadísticos

Para cada una de las preguntas planteadas anteriormente necesitamos un indicador, un parámetro, una medida, un punto de referencia para poder interpretar cómodamente los distintos grupos de datos y ofrecer una respuesta en forma numérica.

En particular, para este tipo de cuestiones, podemos calcular, según cada caso, tres parámetros de centralización diferentes: la media, la moda o la mediana. Son una herramienta que nos permite analizar mejor los datos, con el fin de comparar o tomar algún tipo de decisión.

Los siguientes vídeos pertenecen a Educatina, una biblioteca de vídeos educativos sobre una gran variedad de materias y disponible de forma gratuita en Internet. El primero de ellos es una introducción a los parámetros estadísticos.

Media aritmética

La media aritmética, también llamada simplemente media o promedio, es el valor característico de una serie de datos y se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. El segundo vídeo explica cómo se realiza el cálculo de la media aritmética.

Mediana

La mediana representa el valor de la variable estadística de posición central en un conjunto de datos ordenados. El conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra. Es decir, la mediana deja a ambos lados el mismo número de datos. Si existen valores extremos, su cálculo no se ve afectado.

El tercer vídeo está dedicado a explicar el proceso de cálculo de la mediana.

Moda

La moda es un parámetro de centralización muy sencillo de calcular y que corresponde con el valor que tiene mayor frecuencia absoluta en una distribución de datos. Es decir, el valor que más se repite.

Una distribución es bimodal cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima. Una distribución trimodal de los datos es aquella en la que encontramos tres modas. Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.

El cuarto vídeo presenta el cálculo de la moda en un grupo de datos.

Problema resuelto

El último vídeo de la biblioteca Educatina presenta un ejemplo completo de problema de estadística en el que se calculan los tres parámetros de centralización comentados anteriormente: la media, la moda y la mediana.

Un pediatra ha obtenido una tabla con los meses de edad a los que 50 niños empezaron a caminar. El objetivo es estudiar dicha tabla realizando los cálculos de media, moda y mediana.

Ejercicios de media, moda y mediana

A continuación comparto este documento con ejercicios de cálculo de parámetros de centralización.

Ejercicios sobre parámetros de centralización

Educatina.com | Biblioteca de vídeos educativos
5vídeos | Intro | Media | Moda | Mediana | Problema
Ejercicios (PDF, 2 páginas) | Media, moda y mediana
Fotografía | «statistics often lie» de mac steve en Flickr

Combinatoria (II). Fórmulas de combinaciones, variaciones y permutaciones

¿Cuántos grupos diferentes de 4 personas podemos formar en una clase con 29 alumnos? ¿Cuántos formas diferentes hay de organizar los 9 libros de una estantería? ¿Cuántas clasificaciones diferentes (oro, plata y bronce) puede haber en una prueba de 100 metro lisos?

En la primera entrega del tema de combinatoria, compartía unos apuntes en los que resumía varias estrategias para conocer si nos enfrentamos a un problema de combinaciones, variaciones o permutaciones. Este es quizá el paso más complicado en la resolución de ejercicios de recuento, para aplicar generalmente en problemas de probabilidad. El siguiente paso es sencillamente aplicar las fórmulas correspondientes a cada tipo de problema de combinatoria, y es en esta segunda entrega de los apuntes donde explico cada una de ellas (para los casos sin repetición de elementos).

Apuntes | Ficha 2. Combinatoria (II). Fórmulas de combinaciones, variaciones y permutaciones
En Tiching | Combinatoria (II). Fórmulas de combinaciones, variaciones y permutaciones
Imagen | 100 Meters de Ken Slade en Flickr

Combinatoria (I). Combinaciones, variaciones y permutaciones

Cuando nos disponemos a aplicar la Regla de Laplace para calcular la probabilidad de un suceso A, necesitamos conocer el número de casos favorables y el de casos posibles:

Para un experimento como el de lanzar un dado, calcular el número de casos posibles es sencillo. Sabemos que existen 6 posibles resultados. Si el suceso objeto de estudio es “sacar par”, también podemos calcular mentalmente que son 3 los casos favorables (los resultados: 2,4,6).

Con estos datos, calcular la probabilidad del suceso A es inmediato: “sacar par con un dado”: P(A)=3/6=0,5 (un 50%).

Técnicas de recuento

Sin embargo, el problema se puede complicar. Imaginemos que el experimento que estudiamos es el lanzamiento, no de un dado, sino de 2 dados a la vez, y que el suceso objeto de estudio es “sacar suma par”.

Ahora el número de casos posibles ya no es 6. Y el número de casos favorables para “sacar suma par”, no es 3. En ambos casos son muchos más. Pero, ¿cuántos casos exactamente? Para calcular con exactitud la probabilidad de un suceso es necesario hacer un recuento exacto de los casos favorables y posibles. Y es aquí donde entra en juego la combinatoria.

Hay 18 formas diferentes de combinar los resultados de dos dados para obtener una suma par, de un total de 36 parejas posibles de resultados.

La probabilidad del suceso A “sacar sumar par con 2 dados” es: P(A)=18/36=0,5 (un 50%). El número de casos favorables y posibles es diferente y mucho mayor que con un solo dado (aunque observamos que la probabilidad vuelve a ser un 50%).

En general, se trataría de buscar métodos ordenados para no dejar ninguna combinación fuera. Podemos emplear estructuras en forma de matriz (como la tabla anterior), en forma de árbol, etc. para realizar un recuento ordenado.

Para unos pocos elementos podemos anotar todas las posibles combinaciones. Sin embargo, cuando el número de elementos crece considerablemente, se hace necesaria alguna fórmula que simplifique el cálculo de todas las combinaciones posibles. Por ejemplo, para calcular el número total de parejas del problema anterior, bastaría con aplicar una sencilla fórmula:

donde m (6) es el número de posibles resultados al lanzar un solo dado, y n (2) es el número de dados que utilizamos. Para este problema en particular, estaríamos aplicando la fórmula de variación.

De esta forma, dependiendo del tipo de problema – si el orden de los elementos es importante o si podemos repetir elementos – nos enfrentamos a distintos tipo problemas de combinatoria: combinaciones, variaciones y permutaciones, con y sin repetición.

¿C, V o P? ¿CR, VR o PR?

¿Cómo saber a qué tipo de problema de combinatoria nos enfrentamos? Básicamente, hay que plantear 3 preguntas:

  1. ¿Importa el orden? (O)
  2. ¿Se hacen subgrupos? (S) (si se utilizan todos los elementos, no se hacen subgrupos)
  3. ¿Se pueden repetir elementos? (R)

Ficha 1. Combinatoria (I). Combinaciones, variaciones y permutaciones

Comparto esta ficha que reúne los primeros apuntes sobre combinatoria. En breve, publicaré nuevos apuntes con fórmulas y varios ejemplos de aplicación.

Apuntes | Ficha 1. Combinatoria (I). Combinaciones, variaciones y permutaciones
En Tiching | Combinaciones, variaciones y permutaciones

Piedra, papel, tijera, lagarto, Spock. Una cuestión de combinatoria

The Big Bang Theory es una de las mejores series que he visto en mucho tiempo. En ella se hacen continuamente referencias al mundo de las matemáticas, la física y ciencia en general. En mi opinión el guión está lleno de genialidad. Mi serie favorita, sin más.

La serie cuenta con su propia página en Wikipedia que presenta a los personajes, cada uno de ellos con alguna rareza:

La serie comienza con la llegada de Penny, aspirante a actriz, al apartamento vecino que comparten Sheldon y Leonard, dos físicos, que trabajan en el Instituto Tecnológico de California (Caltech). Ambos son intelectuales brillantes en su trabajo, amigos a su vez de Howard y Raj, que son presentados como unos completos geeks, muy alejados de las inquietudes y problemas de la gente común. Howard Wolowitz es un ingeniero pseudo-galán de origen judío, paradigma de una película psicodélica de los sesenta. Rajesh Koothrappali es astrofísico de nacionalidad india. En el curso de la serie se muestra la dificultad de los protagonistas masculinos para relacionarse con personas fuera de su entorno, principalmente de sexo femenino, dando lugar a situaciones cómicas.

La serie contiene una gran cantidad de situaciones muy cómicas y referencias a principios y teorías físicas auténticas, aunque son simplificados al máximo para poder ser entendidos rápidamente por la audiencia que no posea estudios en física, matemáticas o ingeniería.

De todos los personajes, probablemente el más popular es Sheldon Cooper. El blog emezeta publicaba «20 razones por las que gusta Sheldon Cooper»: sus normas y cláusulas, el uso que hace del Klingon, su infancia, sus referencias a la tecnología o sus teorías en general. Una de sus rarezas más divertidas es su versión del popular juego «Piedra, papel o tijera». Según él, «está demostrado que los jugadores que se conocen empatan entre un 75 y un 80% de las veces por el número limitado de resultados». Es por esta razón que tiene su propia versión del juego, que incluye a un lagarto y el saludo de Spock en Star Trek. En varios capítulos de la serie aparecen los personajes jugando a «Piedra, papel, tijera, lagarto, Spock». En esta escena explica las reglas del juego:

La lista de las 10 reglas del juego es la siguiente:

1. Scissors cuts Paper
2. Paper covers Rock
3. Rock crushes Lizard
4. Lizard poisons Spock
5. Spock smashes Scissors
6. Scissors decapitates Lizard
7. Lizard eats Paper
8. Paper disproves Spock
9. Spock vaporizes Rock
10. Rock crushes Scissors

En español:

“Las tijeras cortan el papel, el papel cubre a la piedra, la piedra aplasta al lagarto, el lagarto envenena a Spock, Spock destroza las tijeras, las tijeras decapitan al lagarto, el lagarto se come el papel, el papel refuta a Spock, Spock vaporiza la piedra, y, como es habitual… la piedra aplasta las tijeras.”

Las reglas en un grafo dirigido

Incluso escuchando con atención, no resulta sencillo memorizar todas las posibles combinaciones de posibles resultados. Es por ello que podemos encontrar publicados en Internet infinidad de gráficos explicando detalladamente las reglas. Se suele utilizar lo que se conoce en matemáticas como grafo: una serie de puntos (vértices o nodos) unidos por líneas (aristas). Para representar las reglas del juego son necesarios 5 puntos y 10 líneas. Los puntos son las 5 posibles opciones del juego: piedra, papel, tijera, lagarto o Spock. Las líneas representan las distintas combinaciones entre las opciones de juego. En particular, las aristas (líneas) de este grafo son del tipo «dirigidas», representadas con una flecha, para indicar que no es lo mismo que el jugador 1 saque «piedra» y el jugador 2 saque «tijera», que al contrario.

Cuestión de combinatoria

Observamos 10 combinaciones posibles. Este es un dato que podemos ver a simple vista, contando el número de flechas, que no son demasiadas. Pero, ¿cuántas combinaciones posibles habría si quisiéramos incluir un elemento más en el juego? ¿y si fueran un total de 10 elementos? ¿Existe alguna forma de calcular las posibles combinaciones sabiendo el número de elementos que hay que combinar por parejas? Existe un método, y una parte de las matemáticas se encarga precisamente de este tipo de cálculos: la combinatoria.

Para este juego en particular, puesto que solo queremos conocer el número de parejas distintas que se pueden formar, habría que aplicar la fórmula de las combinaciones, donde «n» es el número de elementos para combinar (5 elementos),  y «k» el subgrupo que se forma (parejas: 2 elementos).

Recientemente explicaba la función factorial (!) en este mismo blog. Sustituyendo n por 5 y k por 2, y realizando los cálculos, obtenemos el resultado de 10 combinaciones para 5 elementos agrupados por parejas. Si fueran 10 elementos tendríamos 45 combinaciones y si fueran 20, 190 combinaciones. WolframAlpha también es capaz de realizar el cálculo de forma inmediata utilizando los términos de búsqueda «combinations 10 2».

La combinatoria es una parte de las matemáticas que es fundamental conocer para el cálculo de probabilidades, principalmente para hallar con exactitud el número de casos favorables de un suceso o todos los casos posibles de un determinado experimento.

Piedra, papel, tijera, lagarto, Spock. Versión en Java para jugar

Para los que no tengan ni tiempo ni ganas de memorizar las reglas del juego, pueden jugar directamente con la implementación (siempre mejorable) que he hecho del juego con el lenguaje de programación Java. Básicamente se han programado las reglas utilizando una matriz que almacena el resultado de cada posible jugada, que se genera de forma aleatoria.

(clic sobre la imagen para jugar)

El juego también cuenta con su propio artículo en Wikipedia, y también existe todo tipo de merchandising alrededor de esta genial ocurrencia.

Vídeo TBBT | Rock, Paper, Scissors, Lizard, Spock (subtítulos en español)
Código Java | Rock, Paper, Scissors, Lizard, Spock

Las probabilidades en la vida

El pasado 13 de mayo, La 2 de RTVE emitía el programa número 125 de Redes, dirigido y presentado por Eduard Punset. Con el título «Descifrar las probabilidades en la vida», Punset entrevista al matemático y divulgador científico Amir Aczel, con el que analiza muchas situaciones en las que tienen lugar ciertas coincidencias. En algunas existe una explicación inmediata, mientras que la respuesta a otras «casualidades» inexplicables, la podemos encontrar en la teoría de probabilidades. En ocasiones no es muy buena idea fiarnos de nuestra propia intuición para resolver algunos problemas o tomar determinadas decisiones en la vida. Amir Aczel afirma:

«La teoría de las probabilidades es la menos intuitiva de todas las ramas de las matemáticas»

(clic sobre la imagen para ver el programa)

Podría decir que la emisión ha sido un programa casi hecho a medida para recordar algunos de lo artículos sobre probabilidad publicados en este blog.

Hace más de un año publicaba «La intuición nos puede engañar, las matemáticas no». Contaba como en ocasiones la intuición puede hacer que nos equivoquemos en el momento de tomar una decisión. Podríamos elegir de forma incorrecta una opción entre varias, simplemente porque parece que es la más probable. Pero sólo aparentemente. Proponía como ejemplo un problema que refleja este juego de probabilidades. Es el conocido problema de Monty Hall.

Otro de los problemas que analiza el programa es «La paradoja del cumpleaños», un conocido problema matemático que plantea la siguiente pregunta: “¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 23 personas 2 de ellas cumplan años el mismo día y mes? Publiqué la entrada «Experimento en redes sociales: la paradoja del cumpleaños» en la que propongo un pequeño experimento en redes sociales con este problema, que además intento explicar utilizando algunos conceptos de probabilidad.

Sobre coincidencias os recomiendo echar un vistazo a «De amig@s invisibles y cálculo de probabilidades», donde analizo la coincidencia de tener al mismo amigo invisible tres años consecutivos en un grupo de 45 personas. Y propongo hallar la probabilidad de este suceso, utilizando las funciones de cálculo para el lanzamiento de dados del buscador de respuestas Wolfram|Alpha.

También sobre el error de dejar llevarnos por nuestra intución, recientemente en «Azar y probabilidad: la falacia del jugador«, presentaba algunos ejemplos y recursos que pueden servir para motivar el tema de probabilidad en el aula de matemáticas: ¿Jugarías a la lotería con el número 01111? ¿y si ya hubiera tocado ese mismo número en las Navidades pasadas? ¿o es más probable jugar siempre al mismo número?

Durante la entrevista se plantea el experimento de lanzar un dado. Si se obtiene un «2» en los primeros 6 lanzamientos. ¿Es entonces menos probable que ocurra de nuevo en el séptimo lanzamiento? La intución podría indicarnos que sí. Sin embargo, la teoría matemática dice que la probabilidad sigue siendo la misma: 1 sobre 6.

Relacionado con este último experimento proponía una actividad con la hoja de cálculo para el aula de matemáticas, realizando con el ordenador simulaciones de experimentos de lanzamientos de dados cientos de veces para demostrar la Ley de los Grandes Números. Y con un enfoque más informático, publicaba «Trocitos de código (I). Lanzando una moneda millones de veces: ¿cara o cruz?» en el que planteo esta misma demostración con un lenguaje de programación.

RTVE | Descifrar las probabilidades en la vida

Probabilidad de la unión de sucesos (compatibles e incompatibles)

Supongamos el experimento de lanzar un dado. Existen 6 posibles resultados: 1,2,3,4,5 y 6. En un primer ejemplo, supongamos también dos sucesos A y B. El primero, A, se refiere al suceso «sacar menor que 5». El suceso B, «sacar número par».

Realizar el cálculo de la probabilidad de A es sencillo: 4 casos favorables de 6 posibles. Para el suceso B: 3 casos favorables de 6 posibles. Un 67% y un 50% respectivamente. Pero, ¿cuál es la probabilidad de la unión de ambos sucesos? Con otras palabras, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra uno u otro? Si sumamos ambas probabilidades, obtenemos un 117%, lo cual es incorrecto. Las probabilidades siempre tienen un valor entre 0 y 1 (0% y 100%).

Sin embargo, con un segundo ejemplo en el que el suceso A es «sacar par» (50%) y B «sacar impar» (50%), la suma de probabilidades es correcta: un 100% (se trata de un suceso seguro; podemos afirmar rotundamente que o bien sale par o sale impar).

¿Por qué la suma de probabilidades «funciona» para el segundo ejemplo pero no para el primero? La clave está en la compatibilidad de los sucesos. En el primer ejemplo, los sucesos son compatibles. En el segundo, incompatibles. Y para responder a estas preguntas he preparado unos apuntes sobre el cálculo de la probabilidad de la unión de sucesos, compatibles e incompatibles.

Apuntes | Probabilidad de la unión de sucesos
En Tiching | Probabilidad de la unión de sucesos
Foto | Dice five de Doug Wheller en Flickr

Sucesos y la Regla de Laplace: ejercicios sobre probabilidad

La semana pasada publiqué un par de artículos sobre probabilidad. Con «La Ley de los Grandes Números y los 1000 lanzamientos de un dado» proponia una actividad con la hoja de cálculo para el aula de matemáticas, realizando con el ordenador simulaciones de experimentos de lanzamientos de dados.

Y con el recurso «Trocitos de código (I). Lanzando una moneda millones de veces: ¿cara o cruz?», empezaba una serie de artículos con ejemplos de programas escritos con algún lenguaje de programación y que resuelven algún problema concreto de matemáticas. Y empezaba con la simulación de millones de lanzamientos de una moneda.

Comparto esta semana una primera ficha de ejercicios sobre probabilidad. Se trata sobre cuestiones de experimentos de azar, definición de sucesos, operaciones de unión e intersección de sucesos, compatibilidad entre sucesos, análisis de frecuencias y cálculo de probabilidades aplicando la Regla de Laplace.

¿Y dónde encontrar más ejercicios?

Propongo realizar una búsqueda en Tiching para encontrar todo tipo de recursos sobre el tema. Introduciendo los términos «ejercicios de probabilidad» en el explorador, obtenemos una larga lista de recursos disponibles, que podemos filtrar según el nivel educativo (3º de ESO).

Ejercicios | Probabilidad (PDF, 2 páginas)
En Tiching | Ejercicios de Probabilidad