Combinatoria (I). Combinaciones, variaciones y permutaciones

Cuando nos disponemos a aplicar la Regla de Laplace para calcular la probabilidad de un suceso A, necesitamos conocer el número de casos favorables y el de casos posibles:

Para un experimento como el de lanzar un dado, calcular el número de casos posibles es sencillo. Sabemos que existen 6 posibles resultados. Si el suceso objeto de estudio es “sacar par”, también podemos calcular mentalmente que son 3 los casos favorables (los resultados: 2,4,6).

Con estos datos, calcular la probabilidad del suceso A es inmediato: “sacar par con un dado”: P(A)=3/6=0,5 (un 50%).

Técnicas de recuento

Sin embargo, el problema se puede complicar. Imaginemos que el experimento que estudiamos es el lanzamiento, no de un dado, sino de 2 dados a la vez, y que el suceso objeto de estudio es “sacar suma par”.

Ahora el número de casos posibles ya no es 6. Y el número de casos favorables para “sacar suma par”, no es 3. En ambos casos son muchos más. Pero, ¿cuántos casos exactamente? Para calcular con exactitud la probabilidad de un suceso es necesario hacer un recuento exacto de los casos favorables y posibles. Y es aquí donde entra en juego la combinatoria.

Hay 18 formas diferentes de combinar los resultados de dos dados para obtener una suma par, de un total de 36 parejas posibles de resultados.

La probabilidad del suceso A “sacar sumar par con 2 dados” es: P(A)=18/36=0,5 (un 50%). El número de casos favorables y posibles es diferente y mucho mayor que con un solo dado (aunque observamos que la probabilidad vuelve a ser un 50%).

En general, se trataría de buscar métodos ordenados para no dejar ninguna combinación fuera. Podemos emplear estructuras en forma de matriz (como la tabla anterior), en forma de árbol, etc. para realizar un recuento ordenado.

Para unos pocos elementos podemos anotar todas las posibles combinaciones. Sin embargo, cuando el número de elementos crece considerablemente, se hace necesaria alguna fórmula que simplifique el cálculo de todas las combinaciones posibles. Por ejemplo, para calcular el número total de parejas del problema anterior, bastaría con aplicar una sencilla fórmula:

donde m (6) es el número de posibles resultados al lanzar un solo dado, y n (2) es el número de dados que utilizamos. Para este problema en particular, estaríamos aplicando la fórmula de variación.

De esta forma, dependiendo del tipo de problema – si el orden de los elementos es importante o si podemos repetir elementos – nos enfrentamos a distintos tipo problemas de combinatoria: combinaciones, variaciones y permutaciones, con y sin repetición.

¿C, V o P? ¿CR, VR o PR?

¿Cómo saber a qué tipo de problema de combinatoria nos enfrentamos? Básicamente, hay que plantear 3 preguntas:

  1. ¿Importa el orden? (O)
  2. ¿Se hacen subgrupos? (S) (si se utilizan todos los elementos, no se hacen subgrupos)
  3. ¿Se pueden repetir elementos? (R)

Ficha 1. Combinatoria (I). Combinaciones, variaciones y permutaciones

Comparto esta ficha que reúne los primeros apuntes sobre combinatoria. En breve, publicaré nuevos apuntes con fórmulas y varios ejemplos de aplicación.

Apuntes | Ficha 1. Combinatoria (I). Combinaciones, variaciones y permutaciones
En Tiching | Combinaciones, variaciones y permutaciones

Piedra, papel, tijera, lagarto, Spock. Una cuestión de combinatoria

The Big Bang Theory es una de las mejores series que he visto en mucho tiempo. En ella se hacen continuamente referencias al mundo de las matemáticas, la física y ciencia en general. En mi opinión el guión está lleno de genialidad. Mi serie favorita, sin más.

La serie cuenta con su propia página en Wikipedia que presenta a los personajes, cada uno de ellos con alguna rareza:

La serie comienza con la llegada de Penny, aspirante a actriz, al apartamento vecino que comparten Sheldon y Leonard, dos físicos, que trabajan en el Instituto Tecnológico de California (Caltech). Ambos son intelectuales brillantes en su trabajo, amigos a su vez de Howard y Raj, que son presentados como unos completos geeks, muy alejados de las inquietudes y problemas de la gente común. Howard Wolowitz es un ingeniero pseudo-galán de origen judío, paradigma de una película psicodélica de los sesenta. Rajesh Koothrappali es astrofísico de nacionalidad india. En el curso de la serie se muestra la dificultad de los protagonistas masculinos para relacionarse con personas fuera de su entorno, principalmente de sexo femenino, dando lugar a situaciones cómicas.

La serie contiene una gran cantidad de situaciones muy cómicas y referencias a principios y teorías físicas auténticas, aunque son simplificados al máximo para poder ser entendidos rápidamente por la audiencia que no posea estudios en física, matemáticas o ingeniería.

De todos los personajes, probablemente el más popular es Sheldon Cooper. El blog emezeta publicaba «20 razones por las que gusta Sheldon Cooper»: sus normas y cláusulas, el uso que hace del Klingon, su infancia, sus referencias a la tecnología o sus teorías en general. Una de sus rarezas más divertidas es su versión del popular juego «Piedra, papel o tijera». Según él, «está demostrado que los jugadores que se conocen empatan entre un 75 y un 80% de las veces por el número limitado de resultados». Es por esta razón que tiene su propia versión del juego, que incluye a un lagarto y el saludo de Spock en Star Trek. En varios capítulos de la serie aparecen los personajes jugando a «Piedra, papel, tijera, lagarto, Spock». En esta escena explica las reglas del juego:

La lista de las 10 reglas del juego es la siguiente:

1. Scissors cuts Paper
2. Paper covers Rock
3. Rock crushes Lizard
4. Lizard poisons Spock
5. Spock smashes Scissors
6. Scissors decapitates Lizard
7. Lizard eats Paper
8. Paper disproves Spock
9. Spock vaporizes Rock
10. Rock crushes Scissors

En español:

“Las tijeras cortan el papel, el papel cubre a la piedra, la piedra aplasta al lagarto, el lagarto envenena a Spock, Spock destroza las tijeras, las tijeras decapitan al lagarto, el lagarto se come el papel, el papel refuta a Spock, Spock vaporiza la piedra, y, como es habitual… la piedra aplasta las tijeras.”

Las reglas en un grafo dirigido

Incluso escuchando con atención, no resulta sencillo memorizar todas las posibles combinaciones de posibles resultados. Es por ello que podemos encontrar publicados en Internet infinidad de gráficos explicando detalladamente las reglas. Se suele utilizar lo que se conoce en matemáticas como grafo: una serie de puntos (vértices o nodos) unidos por líneas (aristas). Para representar las reglas del juego son necesarios 5 puntos y 10 líneas. Los puntos son las 5 posibles opciones del juego: piedra, papel, tijera, lagarto o Spock. Las líneas representan las distintas combinaciones entre las opciones de juego. En particular, las aristas (líneas) de este grafo son del tipo «dirigidas», representadas con una flecha, para indicar que no es lo mismo que el jugador 1 saque «piedra» y el jugador 2 saque «tijera», que al contrario.

Cuestión de combinatoria

Observamos 10 combinaciones posibles. Este es un dato que podemos ver a simple vista, contando el número de flechas, que no son demasiadas. Pero, ¿cuántas combinaciones posibles habría si quisiéramos incluir un elemento más en el juego? ¿y si fueran un total de 10 elementos? ¿Existe alguna forma de calcular las posibles combinaciones sabiendo el número de elementos que hay que combinar por parejas? Existe un método, y una parte de las matemáticas se encarga precisamente de este tipo de cálculos: la combinatoria.

Para este juego en particular, puesto que solo queremos conocer el número de parejas distintas que se pueden formar, habría que aplicar la fórmula de las combinaciones, donde «n» es el número de elementos para combinar (5 elementos),  y «k» el subgrupo que se forma (parejas: 2 elementos).

Recientemente explicaba la función factorial (!) en este mismo blog. Sustituyendo n por 5 y k por 2, y realizando los cálculos, obtenemos el resultado de 10 combinaciones para 5 elementos agrupados por parejas. Si fueran 10 elementos tendríamos 45 combinaciones y si fueran 20, 190 combinaciones. WolframAlpha también es capaz de realizar el cálculo de forma inmediata utilizando los términos de búsqueda «combinations 10 2».

La combinatoria es una parte de las matemáticas que es fundamental conocer para el cálculo de probabilidades, principalmente para hallar con exactitud el número de casos favorables de un suceso o todos los casos posibles de un determinado experimento.

Piedra, papel, tijera, lagarto, Spock. Versión en Java para jugar

Para los que no tengan ni tiempo ni ganas de memorizar las reglas del juego, pueden jugar directamente con la implementación (siempre mejorable) que he hecho del juego con el lenguaje de programación Java. Básicamente se han programado las reglas utilizando una matriz que almacena el resultado de cada posible jugada, que se genera de forma aleatoria.

(clic sobre la imagen para jugar)

El juego también cuenta con su propio artículo en Wikipedia, y también existe todo tipo de merchandising alrededor de esta genial ocurrencia.

Vídeo TBBT | Rock, Paper, Scissors, Lizard, Spock (subtítulos en español)
Código Java | Rock, Paper, Scissors, Lizard, Spock

Las probabilidades en la vida

El pasado 13 de mayo, La 2 de RTVE emitía el programa número 125 de Redes, dirigido y presentado por Eduard Punset. Con el título «Descifrar las probabilidades en la vida», Punset entrevista al matemático y divulgador científico Amir Aczel, con el que analiza muchas situaciones en las que tienen lugar ciertas coincidencias. En algunas existe una explicación inmediata, mientras que la respuesta a otras «casualidades» inexplicables, la podemos encontrar en la teoría de probabilidades. En ocasiones no es muy buena idea fiarnos de nuestra propia intuición para resolver algunos problemas o tomar determinadas decisiones en la vida. Amir Aczel afirma:

«La teoría de las probabilidades es la menos intuitiva de todas las ramas de las matemáticas»

(clic sobre la imagen para ver el programa)

Podría decir que la emisión ha sido un programa casi hecho a medida para recordar algunos de lo artículos sobre probabilidad publicados en este blog.

Hace más de un año publicaba «La intuición nos puede engañar, las matemáticas no». Contaba como en ocasiones la intuición puede hacer que nos equivoquemos en el momento de tomar una decisión. Podríamos elegir de forma incorrecta una opción entre varias, simplemente porque parece que es la más probable. Pero sólo aparentemente. Proponía como ejemplo un problema que refleja este juego de probabilidades. Es el conocido problema de Monty Hall.

Otro de los problemas que analiza el programa es «La paradoja del cumpleaños», un conocido problema matemático que plantea la siguiente pregunta: “¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 23 personas 2 de ellas cumplan años el mismo día y mes? Publiqué la entrada «Experimento en redes sociales: la paradoja del cumpleaños» en la que propongo un pequeño experimento en redes sociales con este problema, que además intento explicar utilizando algunos conceptos de probabilidad.

Sobre coincidencias os recomiendo echar un vistazo a «De amig@s invisibles y cálculo de probabilidades», donde analizo la coincidencia de tener al mismo amigo invisible tres años consecutivos en un grupo de 45 personas. Y propongo hallar la probabilidad de este suceso, utilizando las funciones de cálculo para el lanzamiento de dados del buscador de respuestas Wolfram|Alpha.

También sobre el error de dejar llevarnos por nuestra intución, recientemente en «Azar y probabilidad: la falacia del jugador«, presentaba algunos ejemplos y recursos que pueden servir para motivar el tema de probabilidad en el aula de matemáticas: ¿Jugarías a la lotería con el número 01111? ¿y si ya hubiera tocado ese mismo número en las Navidades pasadas? ¿o es más probable jugar siempre al mismo número?

Durante la entrevista se plantea el experimento de lanzar un dado. Si se obtiene un «2» en los primeros 6 lanzamientos. ¿Es entonces menos probable que ocurra de nuevo en el séptimo lanzamiento? La intución podría indicarnos que sí. Sin embargo, la teoría matemática dice que la probabilidad sigue siendo la misma: 1 sobre 6.

Relacionado con este último experimento proponía una actividad con la hoja de cálculo para el aula de matemáticas, realizando con el ordenador simulaciones de experimentos de lanzamientos de dados cientos de veces para demostrar la Ley de los Grandes Números. Y con un enfoque más informático, publicaba «Trocitos de código (I). Lanzando una moneda millones de veces: ¿cara o cruz?» en el que planteo esta misma demostración con un lenguaje de programación.

RTVE | Descifrar las probabilidades en la vida

Día Escolar de las Matemáticas: ¿por qué aprenderlas?

Hoy 12 de mayo, se celebra el Día Escolar de las Matemáticas. Fue en el año 2000, declarado Año Mundial de las Matemáticas por la UNESCO, cuando se instituyó este día como Día Escolar de las Matemáticas por la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM).

Especialmente en tiempos de crisis económica como la que estamos viviendo, y para estar al tanto de si las cosas van bien o mal, parece que estamos casi obligados a conocer algunos términos económicos, en general de carácter muy matemático. La XIII edición del Día Escolar de las Matemáticas está dedicada precisamente a la relación entre Matemáticas y Economía.

Y, ¿por qué el 12 de mayo? Se eligió este día conmemorando el nacimiento del matemático Pedro Puig Adam, iniciador de la didáctica de las matemáticas en España, y que nació en 12 de mayo de 1900. Como cuentan en la FESPM,  «con él se inició la renovación de enseñanza de las matemáticas en España, en la década de los cincuenta, movimiento del que la FESPM se siente heredera». Desde entonces, cada año ha tenido lugar esta celebración centrándola en un tema que relaciona las matemáticas con algún otro ámbito del conocimiento.

  • 2000: Pon un poliedro en tu centro
  • 2001: Las matemáticas de los relojes de sol
  • 2002: La Rosa de los vientos, el rumbo y la navegación
  • 2003: Las matemáticas de Alicia y de Gulliver
  • 2004: Frutas y Matemáticas
  • 2005: El Quijote y las matemáticas
  • 2006: Mirar el arte con ojos matemáticos
  • 2007: Matemáticas y educación para la paz
  • 2008: Matemáticas y música
  • 2009: La ciudad y las matemáticas
  • 2010: Prensa y matemáTICas
  • 2011: Las matemáticas de la química
  • 2012: Matemáticas y economía. Ventajas de la cooperación

¿Por qué aprender matemáticas?

Aunque tradicionalmente las matemáticas han sido sido siempre consideradas el «hueso» en cualquier curso, podemos encontrar varios motivos que pueden fomentar el interés por aprenderlas.

En primer lugar su utilidad en cualquier faceta de nuestras vidas. No hay día de la semana en el que no tengamos que enfrentarnos a algún cálculo matemático, aunque sea básico. Adquirir cierta agilidad con las operaciones matemáticas, garantiza que podamos resolver determinadas situaciones que se puedan presentar, especialmente en cuestión de toma de decisiones. Las matemáticas son el arte de pensar bien. El carácter metódico con el que se resuelven los problemas matemáticos, permite desarrollar el hábito de pensar de forma organizada también en otro tipo de problemas, no necesariamente matemáticos. Por otro lado, piensa también que sin matemáticas no habría móviles, ordenadores, videoconsolas… Internet.

La colección de libros «El Mundo es Matemático» dedica uno de sus entregas a las matemáticas de la economía.

FICHA DEL LIBRO

Título: Hipotecas y ecuaciones. Las matemáticas de la economía.

Autores: Lluís Artal y Josep Sales

Editorial: RBA

Fecha de publicación: 2010

ISBN: 978-84-473-6969-0

Páginas: 159

Idioma: español

Disponible en: promoción del diario El Mundo

Leemos en la contraportada:

Buena parte de nuestro quehacer matemático diario está relacionado de un modo u otro con la economía: comparamos precios, calculamos la vuelta de la compra, interpretamos las noticias sobre la inflación o el paro… De hecho, es muy posible que contratar un préstamo o una hipoteca sea la decisión matemáticamente más compleja que tome un individuo cualquiera a lo largo de su vida. En este volumen se explican de forma amena y rigurosa las matemáticas que subyacen a la economía y las finanzas de personas y países.

¿Por qué estudiar la carrera de matemáticas?

De disfrutar con las matemáticas en secundaria y bachillerato, a elegir Matemáticas como estudios universitarios, hay lógicamente un gran salto. Pasión por esta ciencia debe ser uno de los motivos, pero hay otros. Los resume este reportaje de Tesis.

DEM 2012 | Día Escolar de las Matemáticas 2012
Tesis | Reportaje sobre los estudios de Matemáticas
Foto Fórmula | basada en «easy math» de Daniel Kulinski en Flickr

Trocitos de código (II). Recursividad y la función factorial

Leí en el blog Fotomat sobre fotografía y matemáticas una fantástica frase para explicar la recursividad. También la fotografía que publica refleja perfectamente el concepto.

«Si un genio te ofrece tres deseos dile que te bastan dos: El 1º lo que quieras y el 2º otros dos deseos. Eso es recursividad

Una definición de recursividad (también llamada recursión o recurrencia) sería

«La recursividad es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definición.»

Como se puede observar en la imagen, en el cuadro que sostiene la chica, aparece de nuevo la imagen completa original. Y así sucesivamente, idealmente hasta el infinito. Sin embargo, cuando se utiliza la recursividad en matemáticas, es necesario definir lo que se denomina «caso base», una condición que permite evitar el carácter infinito de la recursividad.

Podemos encontrar muchos ejemplos de recursión en las funciones matemáticas. Uno de los ejemplos clásicos de funciones que pueden definirse de forma recursiva son la función factorial de un número: n!

¿Qué es el factorial de un número?

De nuevo, una definición:

Para todo entero positivo n, el factorial de n o n factorial se define como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n.

La letra pi mayúscula que aparece en la fórmula se llama productorio, y es un operador matemático (como el sumatorio) que representa una multiplicación de una serie de números (finita o infinita).

Es decir, para calcular por ejemplo el factorial de 6, y se expresa como 6!, habría que realizar el producto de los número naturales desde 1 (k=1) hasta 6 (que es el valor de n).

Se dice que este método para calcular la función factorial es de tipo iterativo. Se realiza un recorrido (iteración) por los distintos números, multiplicando en cada paso cada número de la serie por el siguiente (que es el anterior más 1).

Se trata de una función que aparece con mucha frecuencia en los cálculos de combinatoria (combinaciones, variaciones y permutaciones), fundamental para el cálculo de probabilidades. De hecho, en cualquier calculadora científica, podemos encontrar una tecla que realiza precisamente esta función sobre un número.

Pero también existe una definición recursiva de la función factorial.

Podemos observar que en la definición de la función factorial (la expresión a la derecha del símbolo «=»), aparece de nuevo la función factorial. Esta situación corresponde con la definición de recursividad que comentábamos al principio: «la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definición.»

Ahora sabemos que la calculadoras disponen de la función factorial. Pero, ¿cómo se puede programar este cálculo con un ordenador? Los lenguajes de programación también permiten definir funciones de forma recursiva, y un ejemplo de implementación de la función factorial en Java sería la siguiente (clic sobre la imagen para probar el código).

El desarrollo de la función factorial de forma recursiva según el código anterior sería:

factorial(6) = 6·factorial(5)
factorial(5) = 5·factorial(4)
factorial(4) = 4·factorial(3)
factorial(3) = 3·factorial(2)
factorial(2) = 2·factorial(1)
factorial(1) = 1·factorial(0)
factorial(0) = 1

Y procediendo y resolviendo en orden inverso:

factorial(0) = 1
factorial(1) = 1·factorial(0) = 1
factorial(2) = 2·factorial(1) = 2·1 = 2
factorial(3) = 3·factorial(2) = 3·2 = 6
factorial(4) = 4·factorial(3) = 4·6 = 24
factorial(5) = 5·factorial(4) = 5·24 = 120
factorial(6) = 6·factorial(5) = 6·120 = 720

Este último paso se denomina caso base. En algún momento, la recursión debe terminar. Si ni impusiéramos una última condición, la recursión seguiría indefinidamente.

Código Java | Función factorial
En Tiching | Recursividad y la función factorial
Foto Recursividad | Fotomat
Foto Calculadora | por Simon Q en Flickr

Probabilidad de la unión de sucesos (compatibles e incompatibles)

Supongamos el experimento de lanzar un dado. Existen 6 posibles resultados: 1,2,3,4,5 y 6. En un primer ejemplo, supongamos también dos sucesos A y B. El primero, A, se refiere al suceso «sacar menor que 5». El suceso B, «sacar número par».

Realizar el cálculo de la probabilidad de A es sencillo: 4 casos favorables de 6 posibles. Para el suceso B: 3 casos favorables de 6 posibles. Un 67% y un 50% respectivamente. Pero, ¿cuál es la probabilidad de la unión de ambos sucesos? Con otras palabras, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra uno u otro? Si sumamos ambas probabilidades, obtenemos un 117%, lo cual es incorrecto. Las probabilidades siempre tienen un valor entre 0 y 1 (0% y 100%).

Sin embargo, con un segundo ejemplo en el que el suceso A es «sacar par» (50%) y B «sacar impar» (50%), la suma de probabilidades es correcta: un 100% (se trata de un suceso seguro; podemos afirmar rotundamente que o bien sale par o sale impar).

¿Por qué la suma de probabilidades «funciona» para el segundo ejemplo pero no para el primero? La clave está en la compatibilidad de los sucesos. En el primer ejemplo, los sucesos son compatibles. En el segundo, incompatibles. Y para responder a estas preguntas he preparado unos apuntes sobre el cálculo de la probabilidad de la unión de sucesos, compatibles e incompatibles.

Apuntes | Probabilidad de la unión de sucesos
En Tiching | Probabilidad de la unión de sucesos
Foto | Dice five de Doug Wheller en Flickr

Sucesos y la Regla de Laplace: ejercicios sobre probabilidad

La semana pasada publiqué un par de artículos sobre probabilidad. Con «La Ley de los Grandes Números y los 1000 lanzamientos de un dado» proponia una actividad con la hoja de cálculo para el aula de matemáticas, realizando con el ordenador simulaciones de experimentos de lanzamientos de dados.

Y con el recurso «Trocitos de código (I). Lanzando una moneda millones de veces: ¿cara o cruz?», empezaba una serie de artículos con ejemplos de programas escritos con algún lenguaje de programación y que resuelven algún problema concreto de matemáticas. Y empezaba con la simulación de millones de lanzamientos de una moneda.

Comparto esta semana una primera ficha de ejercicios sobre probabilidad. Se trata sobre cuestiones de experimentos de azar, definición de sucesos, operaciones de unión e intersección de sucesos, compatibilidad entre sucesos, análisis de frecuencias y cálculo de probabilidades aplicando la Regla de Laplace.

¿Y dónde encontrar más ejercicios?

Propongo realizar una búsqueda en Tiching para encontrar todo tipo de recursos sobre el tema. Introduciendo los términos «ejercicios de probabilidad» en el explorador, obtenemos una larga lista de recursos disponibles, que podemos filtrar según el nivel educativo (3º de ESO).

Ejercicios | Probabilidad (PDF, 2 páginas)
En Tiching | Ejercicios de Probabilidad

Trocitos de código (I). Lanzando una moneda millones de veces: ¿cara o cruz?

Hace unos días explicaba cómo realizar una simulación del lanzamiento de un dado utilizando las funciones de generación de número aleatorios y de recuento de la hoja de cálculo. Los resultados del experimento permitían comprobar la Ley de los Grandes Números.

Diseñar la hoja de cálculo que simula el experimento no entraña demasiada dificultad, si uno sigue los pasos indicados en la actividad y ha utilizado fórmulas de hoja de cálculo en alguna ocasión (recomiendo echar un vistazo a las fichas sobre OpenOffice Calc que preparé hace tiempo). Sin embargo, el entorno de hoja de cálculo no siempre es el más adecuado para realizar algunos experimentos. Cualquiera que intente aumentar el número de lanzamientos de dado de la actividad, comprobará que la memoria del sistema se resiente, y es más que probable que el ordenador se «cuelgue» durante algunos segundos. Los programas de ofimática son lo que son; no les podemos pedir más.

En realidad es una excusa para introducir una nueva sección en el blog: «Trocitos de código», entradas en las que comparto algún fragmento de código (conocidos en inglés como, Code Snippets) escritos con algún lenguaje de programación y que resuelve algún problema concreto. No es mi intención (de momento) explicar ningún concepto de programación, pero si despertar la curiosidad por este arte y utilizarla como herramienta para poner a prueba y comprender mejor algunos conceptos matemáticos.

Lanzamiento de una moneda

En esta ocasión propongo la simulación del lanzamiento de una moneda para comprobar de nuevo la Ley de los Grandes Números:

«La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse hacia una constante a medida que se repite el experimento.»

En el caso de una moneda, en cada lanzamiento la probabilidad de que salga «cara» o «cruz» es exactamente la misma (son sucesos equiprobables), de modo que para cada posible resultado la probabilidad es del 50% (0,5 para «cara» y 0,5 para «cruz»).

La probabilidad de un suceso es la constante a la que se aproxima la frecuencia relativa cuando el experimento se repite muchísimas veces.

Simulación con Java: versión «mini»

Sabemos que debemos repetir el experimento de lanzar la moneda un número «muy grande» de veces. El siguiente fragmento de código escrito en Java realiza precisamente el experimento de lanzar una moneda. Por defecto lo hace 10 millones de veces (l=10000000) y cada 5000 lanzamientos (m=5000) muestra la frecuencia relativa hasta el momento. Lógicamente, estos valores se pueden cambiar.

Para modificar el problema, bastaría con utilizar cualquier editor de «texto plano» para realizar los cambios. Y para generar el programa final y probarlo, habría que disponer de un entorno de compilación y ejecución de Java. Bien, nada de esto es necesario. Existen en Internet algunos entornos de compilación y ejecución online, que permiten probar fragmentos de código. Este es el caso de rextester, una página web en la que podemos escribir nuestro código en varios lenguajes de programación y probar su funcionamiento, además de guardarlo y compartirlo con otros usuarios.

He utilizado este entorno para que podáis probar fácilmente la versión «mini» del programa que realiza la simulación del experimento (clic sobre la imagen del código). Una vez en la web de rextester, basta con hacer clic sobre «Run it» o darle a la tecla F8.

Simulación con Java: versión completa

La versión anterior utiliza el código mínimo (o casi) para realizar la simulación. Este segundo ejemplo de código, mucho más completo y con comentarios, muestra la simulación paso a paso, con los detalles de los lanzamientos de moneda.

Una vez lanzada la simulación, observamos los resultados del experimento. En cada fila aparecen 10 lanzamientos de moneda, con una C o una X, según el resultado de «cara» o «cruz» obtenido. Cada 10 lanzamientos se calcula la frecuencia relativa del suceso «sacar cruz». En los primeros lanzamientos, observamos que el valor de frecuencia relativa ronda 0,5 pero es inestable.

Sin embargo, a medida que el número de lanzamientos crece considerablemente, comprobaremos que la frecuencia relativa se va estabilizando y aproximando de forma más exacta al valor 0,5.

Simulación con GeoGebra

Este mismo experimento se puede realizar también con GeoGebra, un software para matemáticas del que ya he hablado en Esfera TIC en más de una ocasión. La simulación del experimento de lanzar una moneda se puede repetir 10, 100 y 1000 veces.

En Tiching | Lanzando una moneda millones de veces
Código 1 | Lanzamiento de una moneda (versión mini)
Código 2 | Lanzamiento de una moneda (versión completa)
Simulación con GeoGebra | Lanzamiento de una moneda
Foto código | Ruby ruby de Elliott Cable en Flickr
Foto moneda | Lucky Six – PCA 58 de Donald Macleod

La Ley de los Grandes Números y los 1000 lanzamientos de un dado

Recientemente compartía una serie de recursos para motivar el tema de la probabilidad en el aula, un área que tiene cierto éxito entre otros temas del libro. Comentaba que cuando se empiezan a introducir conceptos de teoría de conjuntos, combinatoria y otras formulas, muchas veces el interés por el tema ya no es el mismo. En la actividad TIC para el aula de matemáticas que propongo esta semana, se dan por estudiados ya varios conceptos de probabilidad (sucesos, Regla de Laplace, frecuencias, etc.) Es una actividad con la que el alumno puede comprobar por sí mismo, a través de simulaciones, como se cumple, por ejemplo, la Ley de los Grandes Números.

¿Cuál es la probabilidad de sacar un «6» con un dado? Suponemos, lógicamente, un dado de 6 caras, con las caras numeradas del 1 al 6 y en el que todas los posibles resultados (sucesos elementales) son igualmente probables (equiprobables). Todos diríamos 1 de 6, es decir, un 16,67 % de probabilidad de sacar un «6», o cualquiera de los posibles resultados. Acabamos de aplicar la Regla de Laplace para el cálculo de probabilidades: simplemente dividiendo el número de casos favorables (1, porque solo hay un «6») entre el número de casos posibles (6, porque hay 6 posibles valores), obtenemos dicha probabilidad.

Pero, ¿qué sucedería si repitiéramos el experimento de lanzar un dado varias veces, por ejemplo, 10? En cada lanzamiento, la probabilidad seguiría siendo del 16,67%, y podría salir el «6» o no. Podrían salir diez «6» o ninguno en los 10 lanzamientos. 10 es un número pequeño.

Sin embargo, ¿qué sucedería si en lugar de 10 lanzamientos repetimos el experimento con 100? ¿y con 1000? Bien, aquí entra en juego la Ley de los Grandes Números, que dice así:

«La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse hacia una constante a medida que se repite el experimento.»

Recordemos que la frecuencia relativa de un suceso A (obtener un «6»), al realizarse un experimento N veces, se obtiene de dividir la frecuencia absoluta (las veces que sale el «6»), dividido por el número total de veces que se ha repetido el experimento.

Y, ¿hacia qué valor constante tiende a estabilizarse la frecuencia relativa del suceso «obtener un 6» cuando repetimos el experimento, por ejemplo, 1000 veces. Puedes comprobarlo en la gráfica, resultado de una simulación realizada con un hoja de cálculo, y que es el objetivo de esta actividad.

El valor se aproxima a algo más de 0,15, exactamente 0,167. ¿No es curioso que coincida con el valor que habíamos calculado con la Regla de Lapace? Y es que:

«La probabilidad de un suceso es la constante a la que se aproxima la frecuencia relativa cuando el experimento se repite muchísimas veces.»

Con el objetivo de comprobar que efectivamente la Ley de los Grandes Números se cumple, propongo una actividad para trabajar con las TIC, que consiste en diseñar una hoja de cálculo capaz de simular el experimento de lanzar “N” veces un dado.

La hoja de cálculo agrupará los lanzamientos de 10 en 10, para ir calculando automáticamente las veces que se obtiene un determinado resultado y la frecuencia relativa de tal suceso. Finalmente, se generará con el programa una gráfica que mostrará cómo la frecuencia relativa tiende a una constante.

La actividad

En el siguiente documento (PDF, 4 páginas), está detallada la actividad y las fórmulas de hoja de cálculo necesarias para generar números aleatorios y realizar los cálculos de frecuencias.

Actividad | La Ley de los Grandes Números (PDF, 4 páginas)
En Tiching | La Ley de los Grandes Números
Software | LibreOffice.org (incluye Calc, para diseño de hojas de cálculo)
Imagen Dados | Dice de Swiss Bones en Flickr

Azar y probabilidad: la falacia del jugador

Algo tiene la probabilidad que, incluso tratándose de matemáticas, tiene cierto éxito entre otros temas del libro. Al menos al principio. También es cierto que cuando se introducen conceptos de teoría de conjuntos, combinatoria y otras formulaciones, muchas veces la emoción por el tema se desvanece. En cualquier caso, parece que todo lo que tenga que ver con el juego, siempre atrae más al alumnado.

La probabilidad estudia los experimentos aleatorios o de azar. El cálculo de probabilidades trata de medir hasta qué punto puede suceder un fenómeno. Y en ocasiones nos sorprendería la probabilidad teórica de un suceso, frente a lo que pueda decir nuestro instinto.

Presento en este artículo algunos ejemplos y recursos que pueden servir para motivar el tema de probabilidad en el aula.

Números «feos» en la lotería… ¿pero improbables?

En 1903 tocó el Gordo de Navidad con el número 20297, y 103 años después, en 2006, volvió a salir el mismo número. Ocurrió también en 1956 y 1978, con el número 15560. La pregunta es, ¿jugarías estas Navidades a la lotería con algún número que ya hubiera salido años anteriores? Un primer impulso sería «jugar mejor a otro número», argumentando que ya tocó, y además, en dos ocasiones cada uno. Y si el número hubiera sido uno como el 01010, probablemente tampoco jugaríamos, pero por otros motivos: parece poco probable.

Hay números que a primera vista parecen más probables, y de otros números diríamos que es imposible que salieran en un sorteo. Por otro lado, existe en muchos lugares la tradición de jugar al mismo número cada año (con la creencia de que así aumentan las probabilidades). Nada de esto es cierto. Pensar que los sucesos pasados afectan a los futuros en lo relativo a actividades aleatorias, como en muchos juegos de azar, es lo que se conoce como la falacia del jugador.

La falacia del jugador: cuando la intuición falla

El programa tres14 hablaba precisamente sobre el fenómeno, de cómo al jugar a la lotería, hay números que nos despiertan más confianza que otros. Por ejemplo, si tuviéramos que elegir entre jugar al 03333 o al 25687, una gran mayoría optaría por el segundo, cuando sabemos que uno u otro son igualmente probables.

La falacia del jugador puede comprender varias ideas equivocadas. La primera es que un suceso aleatorio tiene más probabilidad de ocurrir porque no ha ocurrido durante cierto periodo. Por ejemplo, si al lanzar una moneda 10 veces ha salido cara, quizá pensemos que es más probable que salga cruz en la siguiente tirada, cuando en realidad, en cada lanzamiento de moneda, sacar cara y cruz son sucesos equiprobables.

Otra razonamiento erróneo es que un suceso aleatorio tiene menos probabilidad de ocurrir si ocurrió recientemente. Volviendo al ejemplo de la lotería, podríamos pensar que si durante dos años consecutivos ha tocado el mismo número en nuestra ciudad, es muy improbable que vuelva a suceder. En realidad, podríamos decir cada año «se pone el contador a cero» en lo que a probabilidades se refiere. El hecho de que haya tocado la lotería el año pasado no influye en la probabilidad de que toque dicho número de nuevo en las Navidades de este año.

Otro ejemplo de falacia es un clásico chiste de matemáticos, que dice así:

Cuando vuela en avión, un hombre decide llevar siempre una bomba consigo. «Las probabilidades de que en un avión haya una bomba son muy pequeñas —razona—, ¡así que las probabilidades de que haya dos son casi nulas!»

Seguramente nosotros no haríamos nunca un razonamiento como el del viajero en el avión, pero en otras situaciones sí podríamos dejarnos llevar por el instinto y equivocarnos en nuestra decisión (de realizar una apuesta, por ejemplo).

Sucesos aparentemente improbables

¿Apostarías algo a que en un grupo de 23 personas al menos 2 cumplen años el mismo día? Seguramente la primera respuesta intuitiva es «no». Sin embargo, sabiendo que la probabilidad es de más del 50%, quizá valdría la pena arriesgar. Este problema se conoce como la paradoja del cumpleaños, que expliqué ya con un caso práctico, un experimento con grupos de contactos en una red social.

Otro ejemplo que demuestra que debemos fiarnos más de las matemáticas que de nuestro propio instinto es el conocido problema de Monty Hall. La explicación detallada de por qué la opción aparentemente menos probable tiene en realidad el doble de probabilidad, la publiqué en «La intuición nos puede engañar, las matemáticas no». Un buen resumen es esta escena de la serie Numbers:

Falacia del jugador | Wikipedia | Programa tres14: «Curiosidades científicas – Nuestra intuición falla con el azar»
Reportaje | Loterías, retando a la probabilidad
El problema de Monty Hall | La intuición nos puede engañar, las matemáticas no
La paradoja del cumpleaños | Experimento en redes sociales