El pastel de la abuela: un reto geométrico

Hasta ahora os he retado con una apuesta de cafetería y un juego de cartas con reyes, reinas, corazones y picas. Este fin de semana propongo resolver el tercero de los enigmas del Concurso de Desafíos Matemáticos de este curso 2011-2011.

Un reto geométrico dice así:

La abuela ha preparado un delicioso pastel (circular, como el de la fotografía) para repartir entre todos sus nietos. Lo divide en varios trozos haciendo seis cortes rectos. Cada uno de los cortes se cruza con los cinco cortes restantes. Además, en cada intersección, sólo se cruzan dos líneas, y el reparto de trozos hace que la abuela pueda repartir pastel entre todos sus nietos, con porciones de varios tamaños y formas.

¿Cómo está dividido el pastel?

Documentos | Desafío #3: El pastel de la abuela (PDF) | Publicado en Issuu
Foto | Moist Chocolate Cake de Chocolate-Dessert-Recipes.com
En Tiching | El pastel de la abuela: un reto geométrico
Desafío #1 | Apuestas de cafetería
Desafío #2 | Reyes, reinas, corazones y picas

Reyes, reinas, corazones y picas

Un domingo más os planteo un nuevo enigma que compartí el viernes con algunos alumnos que participan en una nueva edición del Concurso de Desafíos Matemáticos.

Reyes, reinas, corazones y picas

Esta vez Enrique reta a Jesús a que es capaz de adivinar, con los ojos cerrados, cómo están colocadas 3 cartas de la baraja. Para ello simplemente recibe información de una persona anónima, que le da algunas pistas sobre cómo están colocadas las cartas:

A la derecha de un Rey hay una Reina o dos, a la izquierda de una Reina hay una Reina o dos, a la izquierda de un Corazón hay una Pica o dos y a la derecha de una Pica hay una Pica o dos?

¿Cómo están colocadas las 3 cartas de la baraja y qué cartas son?

Documentos | Reyes, reinas, corazones y picas
Enlaces | Documento en Issuu
Foto | What you told me, was it all a lie? de Timothy Tsui

Compartiendo mis apuntes en la Red: Creative Commons

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Los artículos de este blog y otros documentos que voy elaborando puedes encontrarlos circulando libremente por Internet. Probablemente no todo el mundo entienda esta forma de actuar; sé que hay muchos que tienen sus reservas. Escucho continuamente argumentos como: «Con el trabajo que me ha costado, ¿cómo lo voy a dejar «gratis» en Internet?». Yo suelo contestar que, precisamente porque ha costado varias horas de trabajo y es un buen resultado, merece la pena que circule libremente por la Red. Quizá sean puntos de vista diferentes. Yo, sin embargo, cada día tengo más claro aquello de que el conocimiento debe ser libre. Llevamos algo más de un mes de clase, estudiando geometría. Si tuviéramos que pagar a Pitágoras por cada vez que usamos su Teorema… O, desde otro punto de vista, ¿qué derecho tenemos a tomar un conocimiento que es abierto y universal (cualquier fórmula conocida), hacer una obra derivada (cualquier de nuestros ejercicios que preparamos) e intentar luego «cerrarla» o no querer compartirla? Vuelvo a decir: puntos de vista distintos.

El blog Xarxa TIC publica siempre intersante reflexiones sobre la creación y uso de materiales educativos y licencias libres. Recomiendo pasarse por allí y buscar sobre el tema.

Suelo recopilar mis documentos en Issuu, un servicio de publicación bastante práctico. Así va quedando mi «biblioteca» de materiales virtual.

Si hacía unos días compartía algo de material sobre fórmulas de geometría, hoy traigo algunos ejercicios que bien podrían ser un modelo de examen.

Documentos | Ejercicios de geometría
Enlaces | Mi biblioteca de documentos en Issuu | Licencias Creative Commons

Descubriendo nuevas fórmulas

El álgebra elemental es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la aritmética, en donde sólo se usan los números y sus operaciones aritméticas (como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son representados por símbolos (usualmente a, b, c, x, y, z).

A estos símbolos los llamamos variables. En el álgebra elemental, una expresión puede contener números, variables y operaciones aritméticas, y es fundamental saber transformar estas expresiones para aprender a descubrir nuevas fórmulas.

Por ejemplo, para calcular la hipotenusa o alguno de los catetos de un triángulo rectángulo, no necesitamos memorizar cada una de las fórmulas (o no deberíamos), sino que partimos del Teorema de Pitágoras, para obtener las otras tres expresiones. Y utilizaremos cada una de ellas dependiendo de los datos que tengamos.

En un problema de áreas, no siempre se pide calcular el área de la figura para aplicar la fórmula directamente. Por ejemplo, para un triángulo, podrían darnos el valor del área y altura, para poder calcular su base. De estar forma, es posible transformar la fórmula original en una nueva.

Sobre este tema, dejo publicado (bajo licencia Creative Commons) un documento de 4 páginas con ejemplos de transformaciones de algunas fórmulas de geometría de áreas planas.

Documentos | Descubriendo fórmulas (PDF, 4 páginas) | publicado en Issuu
Imagen | Math Wall de João Trindade en Flickr

Fotografía y matemáticas: los misteriosos números f

Cuando uno se mete de lleno en el mundo de la fotografía, deja de lado el «modo automático» de la cámara para empezar a manejar de forma manual todos los parámetros de la cámara, como son velocidad de obturación y abertura del diafragma.

Para este último necesitamos conocer una sucesión de números f/ que aparecen en la cámara: la sucesión 1, 1.4, 2.8, 4, 5.6, 8, 11, 16, 22, … Pero, ¿por qué esa y no otra? La «raíz de 2» (por cierto, número irracional) tiene la culpa.

El diafragma de una cámara de fotos

El diafragma es la parte de la cámara compuesta de un sistema de láminas finas que permite graduar la cantidad de luz que entra. Cuando pulsamos el disparador para hacer una foto, las láminas se cierran en el momento de la exposición formando un “agujero” por el que pasa la luz.

En combinación con la velocidad de obturación, el tamaño de abertura del diafragma se puede ajustar en pasos discretos. El tamaño del agujero por el que pasa la luz lo indica el valor f/ de las cámaras.

Los números f/

En las cámaras de fotos podemos establecer el parámetro f/ de forma manual. La abertura es un valor que resulta de dividir la longitud focal f por el diámetro de la pupila de entrada D. Por ejemplo, f/16 se corresponde con un diámetro de pupila de entrada D, que es 16 veces menor que la longitud focal de la lente.

Encontramos la misma sucesión de números f/ en todas las cámaras de fotos: f/1, f/1.4, f/2.8, f/4, f/5.6, f/8, f/11, f/16, f/22, … Pero, ¿por qué exactamente estos números? Si al incrementar en un paso el número f/ obtenemos el doble de área, ¿por qué no utilizar un parámetro como x2, x3, x4, …? ¿De dónde viene entonces el valor del número f/ ?

La explicación, lógicamente, es matemática y podéis ver los detalles en el siguiente documento.

Las matemáticas del número f/ de las cámaras

El documento incluye el texto de esta entrada y la formulación necesaria para comprender la procedencia de la serie numérica.

Resumiendo mucho, la explicación matemática viene a decir que si queremos incrementar el área de un círculo en el doble, su radio debe incrementar «raíz de 2».

Aplicación del número f/

Con la abertura de la lente podemos conseguir el efecto de desenfocar alguna zona de la foto.

En la fotografía la abertura del diafragma corresponde a un valor f/5.6.

Documentos | Fotografía y matemáticas
Enlaces | Sobre el diafragma, la abertura y los números f en Wikipedia
Fotografía | Ejemplo de enfoque selectivo

Apuestas de cafetería

Qué mejor que un buen pasatiempos para una mañana de domingo. Anuncié recientemente que volveríamos a retar este año a los alumnos de 3º de ESO con varios problemas de lógica y matemáticas. Y aquí tenéis publicado «Apuestas de cafetería», el primer enigma de la II Edición de Desafíos Matemáticos de este curso. Dice así:

Jesús, el camarero de la cafetería “Los Terceros” propone un juego a uno de sus clientes habituales, Enrique. Coloca tres tazas sobre la barra:

A continuación invierte la taza en la posición central.

Jesús explica que es capaz de poner las tres tazas boca abajo en tres movimientos, con la dificultad añadida de que en cada movimiento invierte exactamente dos tazas (dos tazas cualquiera, no necesariamente una al lado de la otra).

Está claro que es posible tener todas las tazas boca abajo en tan sólo un movimiento, invirtiendo las tazas de los extremos, pero el reto consiste en realizar el cambio en exactamente 3 movimientos. ¿Cuáles son?

Una vez conseguido el reto de colocar las tres tazas boca abajo, Jesús pone boca arriba la taza central.

A continuación propone a Enrique repetir de nuevo el juego: conseguir las tres tazas boca abajo también en 3 movimientos e invirtiendo 2 tazas en cada uno de ellos. ¿Cuáles son estos movimientos?

Puedes descargar el documento con este primer enigma en formato PDF.

Se trata de la típica «apuesta de bar», en la que intentamos «quedarnos» con algún amigo proponiéndole un reto, solamente utilizando lo que pueda haber sobre la mesa o cualquier otro objeto que podamos llevar encima. Podéis encontrar varios vídeos en Internet con la solución a algunos de los más conocidos.

Botella, billete y monedas

Monedas en forma de flecha

¿Conoces alguna apuesta de cafetería?

Documentos | Apuestas de cafetería (PDF) | Enigma publicado en Issuu

Sobre desafíos matemáticos, electrodomésticos y enchufes

Parece que durante este curso habrá una II Edición del Concurso de Desafíos Matemáticos. El año pasado propuse a los alumnos de 3º de ESO la resolución de un total de 7 enigmas durante 7 semanas. Presentada de nuevo la idea este año, en unas semanas vuelven los juegos de lógica y otros desafíos matemáticos.

Los equipos

Los equipos formados por parejas deben resolver semanalmente un desafío matemático que se publica en papel y en el Aula Virtual. Gana el más rápido en resolver. La entrega se realiza a través de nuestra Aula Virtual, de modo que podemos saber con exactitud qué equipo ha enviado la solución en primer lugar. Las parejas que participan no tienen que ser necesariamente de la misma clase; puede haber un equipo formado por un alumno de 3ºA y otro de 3ºB.

El sistema de puntos

Los 7 primeros equipos que resuelvan el enigma acumulan puntos esa semana. Obtendrán, según su posición, 50, 30, 20, 10, 5, 3 y 2 puntos.

El trofeo semanal

El  equipo que vence cada semana recibe un trofeo que mantendrá durante 7 días y que deberán entregar al vencedor de la semana siguiente si son desbancados. Además, si un equipo vence durante tres semanas seguidas, tiene derecho a quedarse con el trofeo.

El ganador del concurso

Gana el Concurso de Desafíos Matemáticos el equipo que más puntos acumule durante las 7 semanas. Se entregará un premio a cada miembro del equipo.

Los enigmas

¿Y cómo son los enigmas que deben resolver semanalmente? Muchos de los desafíos requieren de mucha lógica y unos pocos algo de conocimiento sobre matemáticas. En general, tarde o temprano los alumnos acaban resolviendo. Sin embargo, si pasados unos días no se ha enviado ninguna solución correcta, no es mala idea empezar a dar alguna pista. La cuestión es no abandonar nunca.

Durante el curso pasado publiqué todos los enigmas matemáticos de la I Edición del concurso: «El rosco», «El cuadrado mágico», «Los arqueros», «El supermercado», «Los 5 rectángulos»«El quinto elemento» y la «Prueba Final». Se puede ver el tipo de problemas planteados y la solución a cada uno de ellos en el siguiente desafío.

El Desafío 0: «Los enchufes»

Planteo el siguiente problema para ir entrenando un poco. No forma parte del concurso y lo llamamos Desafío 0 y de «electrodomésticos y enchufes» va la cosa.

¿Eres capaz de conectar el frigorífico, el horno y el lavavajillas a sus correspondientes enchufes?

Lógicamente el problema tiene una serie de reglas. Primera: los cables no pueden atravesar las paredes de la cocina. Segunda: los cables no pueden atravesar ninguno de los electrodomésticos. Y tercera: no se pueden cruzar dos cables.

El problema en sencillo, pero no siempre sale a la primera… ¡A pensar!

Foto | Puzzle Cubed de David Singleton

El cine como recurso didáctico: La habitación de Fermat

Hace un par de meses hablaba de las matemáticas en el cine y proponía una lista de películas donde los números, de algún modo, forman parte de la historia. Una mente maravillosa (2001), El número 23 (2007), Los Crímenes de Oxford (2008) o La habitación de Fermat (2007), eran alguna de las sugerencias. Bien, de esta última vengo a hablaros.

Después de hacer bastantes búsquedas en Internet, debo reconocer que no resulta nada sencillo encontrar una buena película para utilizar como recurso didáctico en la asignatura de matemáticas. En primer lugar, porque no hay un gran número de ellas. Por otro lado, no todas las que conocemos (y que merece la pena ver) permiten desarrollar alguna actividad que no sea simplemente comentar el argumento de la película. En muchos casos, las matemáticas son la excusa o la curiosidad de la película, y no el tema de fondo.

Sin embargo, sólo era cuestión de persistir en la búsqueda. Me topé en Internet con una completísima actividad sobre la película «La habitación de Fermat».

El documento está elaborado por Abel Martín, Profesor de Matemáticas del IES Pérez de Ayala (Oviedo-Asturias) y Marta Martín Sierra, de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Oviedo.

Y digo completísima actividad porque la temporalización de la actividad (16 páginas) propone 8 sesiones para llevarla a cabo. En primer lugar hace una introducción con los objetivos de este proyecto, para luego presentar ficha técnica y sinopsis de la película. A continuación se hace una serie de sugerencias metodológicas y didácticas para el visionado de la película.

Haciendo un recorrido por 14 de las escenas, se proponen varias actividades relacionadas con los enigmas matemáticos que aparecen en la película, tema que ya hemos tratado en este blog con la propuesta de algunos problemas.

El recurso se puede adaptar con facilidad para tomar sólo aquellas partes más interesantes según el nivel del alumnado, y reducir así también el número de clases necesarias para la actividad. Merece la pena echarle un vistazo.

Enlaces | Ficha de la película en IMDB | Sobre la Conjetura de Goldbach en Wikipedia

Documentos: El cine como recurso didáctico en el aula de matemáticas (también en este enlace)

Experimento en redes sociales: la paradoja del cumpleaños

Lanzo la siguiente pregunta:

¿Cuál creéis que es la probabilidad de que al menos 2 personas de un grupo de 23 cumplan años el mismo día y mes?

Si nos apresuramos en responder a la pregunta, quizá la primera suposición será que es muy improbable que dos fechas coincidan. Como en el problema de las tres puertas que ya expliqué, la intuición nos puede engañar en este caso también.

La «paradoja»

De una forma sorprendente para algunos, la probabilidad de que 2 personas de un grupo de 23 cumplan años el mismo día y mes es de más del 50%. Es más, el mismo planteamiento para un grupo de 60 personas o más da un resultado del 100% de probabilidad. Pero… ¿cómo puede ser?

Se trata de la llamada «paradoja del cumpleaños», que por cierto no es paradoja, porque no es una contradicción lógica. Sencillamente, los resultados van en contra de lo que nuestra intuición podría suponer, pero los podemos comprobar matemáticamente. Pero antes de detallar los cálculos propongo un experimento.

El experimento

Os propongo visitar vuestro perfil en cualquiera de las redes sociales en las que habitualmente publicáis y participáis. Esta vez, sin embargo, el propósito es otro distinto. Si lo hacéis en Facebook, donde probablemente tenéis varias decenas de amigos, consultad la sección de eventos, concretamente la de cumpleaños. Allí encontraréis la lista completa de fechas de cumpleaños de vuestros contactos, agrupadas por meses.

El experimento es simple: comprueba cuántas personas (o grupos de personas) comparten fecha de cumpleaños.

En mi caso, en Facebook tengo un total de 184 amigos. He encontrado 25 pares de contactos que comparten fecha de cumpleaños (+1 grupo de 3 personas que también nacieron el mismo día y mes). Es decir, casi el 30% de mis contactos comparten fecha de cumpleaños con alguien. ¿Increíble, no?

Si también has contado los amigos cuya fecha de cumpleaños coincide, introduce por favor los datos en el siguiente formulario. Me servirá para hacer un pequeño estudio, de los de «andar por casa».

Y para los más curiosos, aquí tenéis la explicación matemática

¿Cómo calcular la probabilidad?

Pensemos que queremos calcular la probabilidad del suceso «que 2 fechas de cumpleaños coincidan». Sin embargo, lo más práctico para este problema es calcular el suceso contrario: «que 2 fechas de cumpleaños no coincidan».

Para ello utilizamos la Regla de Laplace de probabilidad, que dice que la probabilidad de un suceso S es:

Lógicamente tendremos que analizar por separado los casos posibles y los casos favorables.

Casos posibles

Para calcular el número de combinaciones posibles de fechas de cumpleaños de 2 personas (A y B), basta con multiplicar 365 dos veces. Imaginemos un instante ejemplos de combinaciones, para hacernos una idea que hay «unas cuantas»:

  • A cumple el 1 de enero y B el 1 de enero
  • A el 1 de enero y B el 2 de enero
  • A el 1 de enero y B el 3 de enero,
  • …,
  • A el 2 de enero y B el 1 de enero,
  • A el 2 de enero y B el 2 de enero,
  • Y así todas los posibles pares hasta llegar a la combinación.

  • A el 31 de diciembre y B el 31 de diciembre.

El número total de combinaciones para 2 personas es 365·365 o 365^2

El número total de combinaciones de cumpleaños para n personas es 365^n (365 elevado a n)

Casos favorables

Para calcular el número de casos favorables, esto es, número de combinaciones de fechas que no coincidan (recordemos que estamos calculando el suceso «no hay dos personas que cumplan el mismo día y mes»), podríamos proceder de la siguiente forma:

Elegimos a una primera persona, A, que puede cumplir cualquiera de los 365 días. La probabilidad de que una segunda persona B coincidiera en fecha sería de 1/365. Por tanto, la probabilidad de que no coincida es de 364/365. Si tomamos una tercera persona C, la probabilidad de que coincida con A o B es de 2/365. Y por tanto, la probabilidad de que C no coincida con A o B es de 363/365. Si procedemos del mismo modo con el resto de personas del grupo, estaremos calculando la probabilidad de cada suceso «que la fecha de la persona X no coincida con ninguna de las otras».

Bien, al tratarse de sucesos independientes, para calcular la probabilidad de que ocurran todos, bastaría con multiplicar cada una de las probabilidades de la siguiente forma:

Que podríamos unificar en una sola expresión utilizando la siguiente fórmula:

Os dejo la comprobación de la fórmula para el caso de 5 personas (n=5).

Con esta «sencilla» fórmula podríamos elaborar una gráfica representando la probabilidad de coincidencia de 2 fechas de cumpleaños en función del número de personas del grupo, en la que podemos comprobar que para 23 personas la probabilidad de que dos de ellas hayan nacido el mismo día supera el 50%. Para 60 personas o más, asciende hasta casi el 100%.

Sobre la Paradoja del Cumpleaños en: Wikipedia | Gaussianos

Pirámides de población al instante

Como anuncian en su blog, por petición popular, Wolfram|Alpha ofrece desde la semana pasada la posibilidad de hacer diferentes consultas sobre demografía.

Podemos estudiar la población de distintos lugares del mundo, no sólo como lo haríamos accediendo a una enciclopedia, sino también formulando preguntas muy concretas, mediantes estimaciones, incluso sobre datos que todavía no existen.

La imagen muestra el resultado de una consulta general sobre la distribución de la población en España. Si introducimos los términos «Spain population distribution» (de momento todas las consultas sólo en inglés), obtenemos los últimos datos demográficos representados en una pirámide de población (en el ejemplo, del año 2010), además de una tabla mostrando numéricamente la misma información organizada por edad y sexo.

Pero también podemos hilar más fino. Si quisiera saber cuántas personas alrededor de una edad determinada viven en España, bastaría con preguntarle a Wolfram|Alpha de la siguiente forma: «31-year-old people in Spain», para saber que en España viven casi 4 millones de personas en el rango de edad de 30 a 34 años.

Y, ¿qué población tendrá España en el año 2050? Según Wolfram|Alpha seremos 51 millones de personas, de los cuales 16 millones serán mayores de 65 años. También podemos obtener estimaciones sobre el crecimiento de la población, consultando la distribución de la edad en un año futuro: «Spain age distribution 2050».

El estudio de la distribución y evolución de la población es un tema común en varias asignaturas. Se puede desarrollar tanto en el área de geografía, desde un punto de vista histórico, como en matemáticas, con un enfoque más estadístico. Esta nueva función que añade el popular buscador de respuestas se presenta a alumnos y profesores como una herramienta de gran utilidad en el aula.

Enlaces: Wolfram|Alpha