La intuición nos puede engañar, las matemáticas no

Un conocido problema matemático sobre probabilidad es el de Monty Hall, inspirado en el concurso televisivo estadounidense Let’s Make a Deal. En el concurso, el presentador muestra tres puertas. En una de ellas puede haber un coche como premio; en las otras dos: una cabra.

El concursante elige al inicio una de las puertas. A continuación, el presentador decide abrir otra de las puertas para mostrarle que tras ella, se esconde una cabra. Es entonces cuando se da la opción al concursante de quedarse con la puerta que había elegido inicialmente, o por lo contrario, cambiar de puerta.

Si tras la elección del concursante, el presentador muestra que en una de las puertas (supongamos C) hay una cabra, en las otras dos (A y B) están la cabra y el coche. No sabemos si la cabra en A y el coche en B, o si la cabra en B y el coche en A. En cualquier caso, quedan dos puertas, por lo que podemos pensar que la probabilidad de ganar el coche es del 50%. Da igual si el concursante se queda con la puerta elegida inicialmente o si decide cambiar de puerta. ¿O no…?

Bien, esto sólo es lo que nos dice la intución, que en esta ocasión nos engaña. De hecho, si el concursante cambia de puerta, matemáticamente las probabilidades de ganar son del 66%.

La explicación es la siguiente:

Si el concursante decide quedarse con la puerta elegida inicialmente, la probabilidad de haber acertado es de 1 sobre 3, es decir, de un 33%. No importa el hecho de que el presentador haya mostrado que en una de las puertas hay una cabra. El concursante ha decidido quedarse con su primera elección, y eso es en cualquier caso sigue siendo una opción entre tres posibles.

Sin embargo, si el concursante decide cambiar de puerta, puede haber 3 situaciones:

– Primer caso. El concursante había elegido la puerta que escondía el coche, y sin embargo, el cambiar, elegirá necesariamente la segunda de las cabras que queda por descubrir (la primera la mostró el presentador).

– Segundo caso. El concursante había elegido la puerta que esconde la primera cabra, por lo que al cambiar elige con total seguridad la puerta que esconde el coche (no olvidemos que antes de cambiar el presentador muestra una puerta con una cabra).

– Tercer caso. El concursante había elegido la puerta que esconde la segunda cabra, por lo que al cambiar elige como en segundo caso y con total seguridad la puerta que esconde el coche (no olvidemos que antes de cambiar el presentador muestra una puerta con una cabra).

De los 3 casos, uno supone perder y dos ganar, por lo que la probabilidad de ganar si cambiamos de puerta es del 66% (2/3), el doble que si el concursante decide no cambiar de puerta.

Si la explicación argumentada por escrito todavía no resuelve tus dudas, quizá esta escena de la serie Numbers te ayude a entender el problema.

Matemáticas en el cine

Son muchas las películas donde aparecen las matemáticas. Unas pocas como tema principal, retratando la vida de algún matemático, como en «Una mente maravillosa» (2001), y otras muchas como excusa para intentar dar a la película cierto toque de espectacularidad.

Personajes realizando cálculos a gran velocidad, resolviendo enigmas o descrifrando códigos. Cualquiera de estas situaciones siempre dan juego, y más todavía si aparecen ordenadores de por medio. He empezado a recopilar en una lista algunas de estas películas:

  • Una mente maravillosa (2001). Narra la vida del matemático John Forbes Nash desde su llegada a la Universidad de Princeton, en New Jersey, primero como estudiante y luego como profesor.
  • La habitación de Fermat (2007). Cuatro matemáticos que no se conocen entre sí son invitados a una casa para resolver un gran enigma.
  • El número 23 (2007). La trama está basada en el enigma del número 23, una creencia que ya ha sido reflejada en más medios y por la cuál se cree que todos los incidentes y eventos están conectados con el número 23, con permutaciones del número 23 o números cercanos al 23.
  • Los crímenes de Oxford (2008). Un profesor y un estudiante trabajando juntos en la Universidad de Oxford para intentar resolver y terminar con una serie de asesinatos que parecen estar relacionados con símbolos matemáticos.
  • Cube (1997). Un grupo de personas aparece en un laberinto de habitaciones cúbicas idénticas entre sí que esconden trampas mortíferas.
  • El indomable Will Hunting (1997). Will Hunting tiene un don para las matemáticas, pero necesitará la ayuda de un psicólogo para encontrar el camino en la vida.
  • 21: Black Jack (2008). 6 estudiantes del MIT son entrenados como expertos «contadores de cartas» para ganar en los casinos de Las Vegas.
  • Enigma (2001). Un joven genio rompe el código enemigo durante la Segunda Guerra Mundial.

He encontrado también una página en el Departamento de Matemáticas de Harvard, que recopila varias películas en las que aparecen referencias a las matemáticas. No todas son películas sobre el mundo de las matemáticas, sino sencillamente películas con escenas en las que aparecen algún elemento matemático (ecuaciones en pizarras, matemáticas en diálogos, personajes descifrando códigos, etc.).

¿Qué películas conoces sobre matemáticas?

Curso de Hoja de Cálculo (III): Cómo reutilizar fórmulas

Especialmente en áreas como la estadística, es muy habitual tener que realizar la misma operación sobre cientos o miles de líneas de datos, como ocurre por ejemplo con las encuestas, donde tenemos muchas respuestas que debemos procesar del mismo modo, utilizando la misma fórmula. En estos casos, lo más lógico es dejar que sea el ordenador el que realice estos cálculos y para ello debemos saber cómo generalizar un problema. La tercera entrega del Curso de Hoja de Cálculo detalla la función que permite copiar y pegar fórmulas en una hoja de cálculo, precisamente para evitar reescribirlas para cada caso particular.

La Ficha 04 que publico esta semana pretende explicar el uso del símbolo $ para «fijar una celda» cuando se reutiliza una fórmula con la función de copiar y pegar. En algunos casos la hoja de cálculo no consigue interpretar correctamente la fórmula que queremos duplicar. Un ejemplo habitual es cuando, por ejemplo, queremos dividir varias celdas consecutivas de una columna entre el mismo valor.

Enlaces: Ficha 01 | Ficha 02 | Ficha 03

Un buscador de respuestas para cada asignatura: Wolfram|Alpha

Hace unos meses os contaba cómo saber cuántos afinadores de piano hay en Chicago. El ejemplo me servía para presentar el buscador de respuestas Wolfram|Alpha, disponible en una página de Internet y que procesa todo tipo de preguntas: matemáticas, geografía, química, física, historia, etc. Nada se le escapa. Ahora, los creadores de Mathematica nos sorprenden con las Wolfram Course Assistant Apps, varias versiones de su buscador, cada una de ellas diseñada para una asignatura diferente.

Wolfram|Alpha ya había presentado su motor de búsqueda de respuestas en su versión móvil, de momento disponible en iPhone, iPod Touch, iPad y Android. Sin embargo, leo esta semana en Mashable que el buscador también se ha propuesto diseñar un programa para cada asignatura. De momento podemos probar tres aplicaciones del área de matemáticas y música, concretamente para Álgebra, Cálculo y Teoría Musical.

Una de las particularidades de estas nuevas aplicaciones es que no sólo dan la respuesta a la pregunta que se formula, sino que ofrece una explicación paso a paso sobre cómo se ha llegado a la solución. Con las aplicaciones para el área de matemáticas, tras computar el problema, podemos ver en algunos casos varios cálculos parciales.

Wolfram|Alpha es un servicio del que siempre viene bien echar mano para comprobar algún resultado, o simplemente para experimentar, aprender y curiosear con cualquer cuestión matemática. He probado de momento la aplicación de Álgebra en iPad con algunos sistemas de ecuaciones. La interfaz es muy sencilla y cuenta con una teclado virtual que facilita la introducción de número y símbolos matemáticos. La comodidad y velocidad de respuesta hacen que esta nueva idea de Wolfram|Alpha resulte muy práctica.

Enlaces: Wolfram Course Assistant Apps

Curso de Hoja de Cálculo (II): Funciones

Terminamos 2010 con una introducción a la hoja de cálculo OpenOffice Calc explicando los elementos básicos del entorno de hoja de cálculo, los tipos de datos que se pueden manejar y el uso de los operadores básicos (suma, resta, multiplicación y división). En esta segunda entrega, se introduce el uso de funciones que principalmente van a permitir simplificar algunos cálculos.

Las operaciones básicas estudiadas en la Ficha 01 se suelen utilizar para realizar cálculos sencillos con unos pocos datos. Si queremos sumar los valores de las celdas A1, A2 y A3, simplemente escribimos la siguiente fórmula:

=A1+A2+A3

Pero, ¿qué sucede si la cantidad de números de la expresión es muy grande?

=A1+A2+A3+A4+A5+ … + A678

Una de las ventajas del uso de funciones es precisamente simplificar este tipo de cálculos largos. Para este caso particular, sería más conveniente utilizar la función SUMA.

=SUMA(A1:A678)

Intervalos y conjuntos de celdas

En el ejemplo de función SUMA, aparece entre paréntesis el valor A1:A678, dos celdas separadas por el signo “dos puntos” (:). Se trata de una forma abreviada para indicar que la operación se realiza sobre un intervalo de celdas. El ejemplo:

=SUMA(A1:A678)

indica que se efectúa la suma de todos los valores desde la celda A1 hasta la celda A678 (siempre en celdas consecutivas).

Sin embargo, los datos sobre los que se opera no siempre aparecen de forma consecutiva en la hoja de cálculo. ¿Cómo podemos sumar entonces tres valores que están en las celdas A1, B3 y C9, sin recurrir el operador de suma (+)? Para ello podemos seguir utilizando la función SUMA e indicar un conjunto de celdas con el signo “punto y coma” (;).

=SUMA(A1;B3;C9)

que sería equivalente a escribir:

=A1+B3+C9

La ficha en formato PDF resume estos contenidos y añade la explicación de «Opciones de función» y muestra el uso de otra funciones conocidas (PROMEDIO, M.C.D, M.C.M, MÁX, MÍN, etc.).

Enlaces: Ficha 01 | Ficha 02

Desafíos Matemáticos #7: Prueba Final

Con el séptimo desafío matemático, esta vez doble, llegamos a la última de las pruebas del concurso de problemas matemáticos y de lógica que he venido proponiendo estas últimas semanas.

Desafío A

Tenemos un triángulo isósceles con base de 10 cm y dos lados de 13 cm. ¿Cómo obtener otro triángulo isósceles con la misma área, pero cuya base sea distinta?

La forma más interesante de plantear este primer problema sería intentar resolverlo sin realizar ningún cálculo matemático, solamente explicando qué hacer con el triángulo para obtener el que pide el enunciado.

Desafío B

Encuentra un número de 3 dígitos que sea igual a las suma de los cubos de sus dígitos. Es decir:

xyz = x3+y3+z3

¡A pensar… y suerte!

Solución al Desafío #6

En el sexto problema – «El Quinto Elemento» – os proponía seguir la serie:

X1, 1X11, 111X21, 311X1211, …

En este caso particular, no era necesario ninguna fórmula para hallar el siguiente elemento. Se trataba simplemente de «leer» el elemento anterior.

El primer elemento es «X1», por lo que «leemos» que hay una X y un 1, y lo escribimos de la siguiente forma: «1X11». En este último elemento hay un 1, una X y dos 1, y lo escribimos: «111X21», y así sucesivamente. Por tanto, para obtener el quinto elemento, leemos el elemento anterior, «311X1211», donde hay un 3, dos 1, una X, un 1, un 2 y dos 1, y lo escribimos como «13211X111221«. Este es el elemento que buscamos.

Enlaces: Desafío #1 | Desafío #2 | Desafío #3 | Desafío #4 | Desafío #5 | Desafío #6

Desafíos Matemáticos #6: El Quinto Elemento

Y con El Quinto Elemento llegamos al penúltimo de los problemas de la I Edición del Concurso de Desafíos Matemáticos. Uno de los enigmas típicos son los de secuencias o progresiones, en las que hay que realizar algún cálculo sobre el elemento anterior para obtener el siguiente, o en las que hay que observar las posiciones de letras y números en cada elemento para intentar deducir el siguiente. En esta ocasión se trata de una secuencia de letras y números que hay que intentar continuar.

El problema dice así:

En la Agencia Superior de Inteligencia, los espías se comunican con su equipo mediante enigmas matemáticos. Para una de las misiones, se entrega a uno de los espías la siguiente lista de códigos:

X1, 1X11, 111X21, 311X1211, …

El espía deberá averiguar el elemento que sigue en la lista, que será el código de acceso para poder terminar con éxito su misión.

El desafío consiste en averiguar el quinto elemento antes que el espía enemigo.

Y a continuación comento la solución al Desafío #5 de la semana pasada: «Los 5 rectángulos». En él planteaba el problema de construir un cuadrado de dimensiones 11×11 con 5 rectángulos. Para construir dichos rectángulos había que tomar parejas de lados de la lista: 1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (sólo una vez cada lado).

Una de las soluciones es colocar convenientemente rectángulos de dimensiones: 1×6, 2×10, 3×9, 4×7 y 5×8, como muestra la figura.

Enlaces: Desafío #1 | Desafío #2 | Desafío #3 | Desafío #4 | Desafío #5

Curso de Hoja de Cálculo (I). Entorno y operaciones básicas

Con esta entrada empieza una serie de artículos en forma de Curso de Hoja de Cálculo. En cada una de las entregas publicaré algunos materiales resumidos en una ficha.  El material se ha elaborado para complementar los contenidos de estadística en educación secundaria y, por tanto, la mayoría de ejemplos se plantean para resolver problemas matemáticos de este nivel.

Durante este curso utilizaré OpenOffice Calc como software para desarrollar las explicaciones y ejemplos de Hoja de Cálculo, aunque es muy probable que en una segunda edición del curso (con mejora de los materiales) opte por pasar definitivamente a LibreOffice. Para conocer los motivos, puedes leer más sobre la noticia OpenOffice/LibreOffice en GenBeta o en Barrapunto.

Empezamos conociendo los aspectos básicos de una hoja de cálculo.

La hoja de cálculo es un programa que permite manipular datos numéricos y alfanuméricos. Con él podemos realizar desde operaciones básicas hasta complejos cálculos estadísticos. En una hoja de cálculo, todos los datos se organizan en filas (representadas por números; 1, 2, 3, …) y columnas (representadas por letras: A, B, C, …), ocupando cada valor un celda determinada (A1, B2, C2, …).

En general, en cada celda se pueden introducir valores de tres tipos: números, fórmulas y texto:

  1. Los números son los datos de entrada, aquella información sobre la que queremos realizar cálculos. Ejemplo: las notas de dos exámenes: 6,5 y 8.
  2. Las fórmulas son expresiones matemáticas que permiten obtener nuevos datos a partir de los números que aparecen en otras celdas. Ejemplo: la fórmula del promedio. Para el caso que muestra la figura, la suma de las notas divida por 2)
  3. El texto permite describir y organizar mejor la información numérica y las fórmulas. Ejemplo: etiquetas junto a los datos: Examen 1, Examen 2, Media.

Aunque veremos que existen métodos más sencillos (llamados funciones) para calcular una media aritmética, convendrá en primer lugar aprender a realizar este tipo de cálculos con los operadores básicos, que incluyen la suma, la resta, la multiplicación, la división, la potenciación y la raíz cuadrada.

Enlaces: Descargar OpenOffice.org | Ficha 01 de Hoja de Cálculo

Desafíos Matemáticos #5: Los 5 rectángulos

Con este quinto desafío matemático, ya sólo quedan 3 enigmas para completar la serie de problemas de lógica y matemáticas que voy proponiendo cada semana.

Forma 5 rectángulos tomando como lados los números que aparecen en la siguiente lista:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

El desafío consiste en colocar los 5 rectángulos de tal modo de formen cuadrado de 11×11. Por ejemplo, se pueden construir rectángulos de 1×3, 4×8, 9×5, etc. Sin embargo, cada número se puede utilizar sólo una vez. Es decir, no es posible formar dos rectángulos, uno de 2×3 y otro de 3×7.

¡A pensar… y suerte!

El desafío de la semana pasada -El Supermercado- era probablemente uno de los más fáciles de esta primera serie. Después de pensar durante algunos minutos, es relativamente sencillo encontrar la solución al problema. La pregunta formulada era la siguiente:

Un matrimonio sale del supermercado después de hacer la compra semanal. Entre los dos cargan varias bolsas hasta que a mitad de camino el marido empieza a quejarse por el peso que lleva en sus manos. Su mujer le dice:

– ¿Por qué te quejas? ¡Si me das una de tus bolsas, yo tendré el doble que tú. Y si yo te doy una, los dos llevaremos el mismo peso!

¿Cuántas bolsas lleva cada uno?

La respuesta es 5 y 7, es decir, el marido lleva 5 bolsas y la mujer lleva 7. Por lo tanto, si el marido le da una de sus bolsas a su mujer, él se queda con 4 (5-1) y ella con 8 (7+1). Si por el contrario, la mujer es la que le da una bolsa a su marido, ella se queda con 6 (7-1) y él con 6 también (5+1).

Aunque la solución se puede hallar pensando mentalmente posibles combinaciones de números de bolsas, lo más fácil es plantear un sencillo sistema de ecuaciones que directamente resuelva el problema. Supondremos que ‘y’ es el número de bolsas que lleva la mujer y ‘x’ el número de bolsas que lleva su marido. Para ello escribiríamos:

y + 1 = 2(x-1)

x + 1 = y – 1

Con la primera ecuación estamos expresando la situación en la que el marido, que lleva inicialmente ‘x’ bolsas, le da una a su mujer, que se queda con una más, es decir, con y+1; y el marido por tanto se queda con una menos,  x-1 bolsas. Esa cantidad es el doble de lo que lleva la mujer, expresado por la igualdad 2(x-1) = y + 1

La segunda ecuación, x + 1 = y – 1, indica que si es la mujer la que le da una bolsa al marido, esta se queda con una menos (y-1) y él con una más (x+1).

Resolviendo el sistema de ecuaciones por cualquier de los métodos tradicionales (sustitución, reducción, igualación, …) llegamos a la solución x=5 e y=7. La figura muestra la resolución del sistema de ecuaciones de forma gráfica representando las dos rectas con GeoGebra y calculando la intersección, que es el punto (5,7), es decir, x=5 e y=7.

Enlaces: Desafío #1 | Desafío #2 | Desafío #3 | Desafío #4

Desafíos Matemáticos #4: El Supermercado

Como vengo haciendo cada viernes, aquí tenéis la cuarta entrega de la serie de desafíos matemáticos: «El Supermercado». Se trata de un problema que, bien planteado, puede ser resuelto rápidamente con algún cálculo matemático que otro. ¡A pensar… y suerte!

Un matrimonio sale del supermercado después de hacer la compra semanal. Entre los dos cargan varias bolsas hasta que a mitad de camino el marido empieza a quejarse por el peso que lleva en sus manos. Su mujer le dice:

– ¿Por qué te quejas? ¡Si me das una de tus bolsas, yo tendré el doble que tú. Y si yo te doy una, los dos llevaremos el mismo peso!

¿Cuántas bolsas lleva cada uno?

Para resolver el desafío asumimos que todas las bolsas tienen el mismo peso.

Y comento a continuación la solución del Desafío #3: Los Arqueros. Continuar leyendo «Desafíos Matemáticos #4: El Supermercado»