Arte y matemáticas: números escondidos en el Partenón, la Mona Lisa y la manzana de Apple

Contaba no hace mucho cómo las matemáticas están presentes en la naturaleza, mucho más de lo que imaginamos. Formas, patrones, proporciones; infinidad de elementos surgidos de forma completamente natural que siguen un orden matemático y que son verdaderas demostraciones de belleza.

Identidad de Euler

Siempre que se habla de belleza matemática aparece la famosa «identidad de Euler». Esta conocida fórmula del matemático más importante del siglo XVIII, está considerada la más bella de la historia por relacionar cinco números muy utilizados en la historia de las matemáticas y que además pertenecen a distintas ramas de la misma.

También las matemáticas estén presentes en diferentes expresiones artísticas. Podemos encontrar referencias matemáticas en muchas obras pictóricas y arquitectónicas. En este caso han sido los propios artistas los que desde hace siglos han considerado símbolo de belleza utilizar determinadas proporciones u organizar los elementos que componen la obra siguiendo un orden matemático. Este es el caso de obras como «La Mona Lisa» de Leonardo Da Vinci o «Las Meninas» de Velázquez. Ambas obras esconden el «número áureo», también llamado «divina propoción». Pero incluso diseños más recientes como los utilizados por la empresa de informática Apple, utilizan también este «mágico» número, por ejemplo en las proporciones del logotipo de iCloud.

¿Por qué es tan especial el «número áureo»?

En 300 a.C., Euclides, el padre de la geometría, descubre una proporción divina que rige todas las cosas bellas: el número áureo, representado por la letra griega φ (fi), en honor al escultor griego Fidias, que utilizaba este valor estético en sus esculturas.

El número áureo es un número irracional.

1.61803398874989484820458683436563811772030917980576286 2135448622705260462818902449707207204189391137484754088 0753868917521266338622235369317931800607667263544333890 8659593958290563832266131992829026788067520…

¿Cómo se puede obtener el número de oro?

El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b que cumplen una determinada relación: la longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más corto b.

Aunque probablemente, la forma más curiosa de hallar una aproximación del mágico número áureo es a partir de la sucesión de Fibonacci (de la que ya hablé en el artículo «Huracanes, conejos y piñas: matemáticas en la naturaleza y cómo calcular la sucesión de Fibonacci»). Se trataría de realizar una sencilla operación sobre pares de número consecutivos en la sucesión de Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17111, 28657, 46638, … Por ejemplo, utilizando el siguiente programa en lenguaje Java genera los números de la sucesión de Fibonacci:

Programa Java que cálcula la sucesión de Fibonacci y el número áureo

vamos calculando también en casa paso el cociente entre un valor y el anterior (3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, …). Observaremos que el valor de la división se va aproximando cada vez más al número áureo: 1.61803398874989484820458…

Salida del programa Java que cálculo la sucesión de Fibonacci y la aproximación al número áureo.

A partir de la evolución de un rectángulo dorado, que posee una proporcionalidad entre sus lados igual a la razón aúrea, podemos construir una espiral áurea, como las que aparecen «escondidas» en muchas obras de arte.

El número áureo en la arquitectura

El número áureo está presente en el diseño de la construcción del Partenón de Atenas. Si tomamos algunas medidas, podremos comprobar que la base frontal es la altura multiplicada por el número áureo (1,61803398). Y si estudiamos otros elementos de la construcción, la divina proporción vuelve a aparecer.

El número áureo en la pintura

En una de las obras de de Leonardo Da Vinci podemos encontrar una espiral áurea, delimitando las proporciones de «La Mona Lisa».

También en la famosa obra de Velázquez, «Las Meninas», aparecen varias referencias matemáticas, como por ejemplo los tres triángulos isósceles que marcan la posición de «las meninas», y también la espiral dorada.

La presencia de la espiral tiene una clara intención dentro del cuadro del pintor español:

Velázquez, en la composición áurea de su cuadro Las Meninas, lo ordena con la mencionada espiral, cuyo centro está situado sobre el pecho de la infanta Margarita, marcando con ello el centro visual de máximo interés y el significado simbólico del lugar reservado para los escogidos, como era tradición en Europa, que el monarca ocupara el lugar central y de privilegio en las ceremonias. No hay que olvidar que en el momento de la creación de la pintura, la infanta Margarita era la persona más indicada como sucesora al trono, ya que Felipe IV no tenía en ese momento ningún hijo varón.

La divina proporción en diseños modernos

Como comenta el blog Fotomat sobre fotografía y matemáticas, el logotipo de iCloud de Apple utiliza las proporciones áureas también. Pero no queda ahí la obsesión de los de Apple por la perfección. Indagando un poco más sobre tema, podéis descubrir que la famosa manzana utiliza proporciones extraídas de la sucesión de Fibonacci. Increíble.

«Los números son bellos» del programa tres14

Para comprender mejor toda la relación entre arte y matemáticas, recomiendo este reportaje del programa tres14, «Los números son bellos», en el que entrevistan a cuatro matemáticos. A todos ellos se les plantea la siguiente pregunta: «¿Qué tienen en común arte y matemáticas?». Francisco Martín Casalderrey y Capi Corrales hablan sobre mirar el arte con ojos matemáticos, Fernando Corbalán, sobre la divina proporción y Sebastià Xambó y Antonio J. Durán, sobre el arte en las matemáticas, su poesía y su belleza.

Reportaje «Los números son bellos» del programa tres14 de La2 de RTVE

Programa Java en rextester.com | Cálculo del número áureo
La2 de rtve.es | tres14 – Los números son bellos

Huracanes, conejos y piñas: matemáticas en la naturaleza y cómo calcular la sucesión de Fibonacci

Las matemáticas están presentes en la naturaleza, mucho más de lo que podemos imaginar. Formas, proporciones y crecimientos; infinidad de elementos naturales siguen un orden matemático, un patrón. Uno de los casos de estudio más curiosos es la aparición de la sucesión de Fibonacci en muchos elementos naturales.

Por ejemplo, el pasado 28 de octubre a las 6:45 PM EDST, el decimoctavo ciclón tropical de la temporada 2012 adquiría la forma de la espiral de Fibonacci. Era el huracán Sandy.

También es curioso comprobar que si observamos las hileras espirales de escamas en una piña, se pueden contar 8 espirales enrollándose hacia la izquierda y 13 espirales que lo hacen en sentido contrario. O también 13 hacia la izquierda y 21 hacia la derecha. También se pueden dar otras parejas de números, pero en cualquier caso se tratan de números consecutivos en la famosa sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

La longitud de tus falanges también sigue la sucesión de Fibonacci:

¿Qué es la sucesión de Fibonacci?

En matemáticas, una sucesión es una lista ordenada de objetos, cada uno de ellos denominado término, elemento o miembro de la sucesión. Podríamos encontrar (e inventar) sucesiones, finitas e infinitas, pero de todas ellas, probablemente una de las que más curiosidad despierta es la sucesión de Fibonacci. De hecho, el interés por esta famosa serie de números no sólo tiene que ver con sus aplicaciones directas en el mundo de las ciencias de la computación y las matemáticas, sino por estar presente, como comentaba, en muchos elementos de la naturaleza.

La sucesión de Fibonacci corresponde a la sucesión infinita de números naturales en la que cada elemento es la suma de los dos anteriores:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17111, 28657, 46638, …

En ocasiones y de forma errónea, se hace referencia a esta secuencia de números como «serie de Fibonacci», sin embargo, una serie matemática es un concepto que tiene que ver con la suma de los términos de una sucesión infinita.

Aunque la sucesión ya había sido descubierta por matemáticos indios, fue Leonardo de Pisa (1170-1250), matemático italiano del siglo XIII conocido como Fibonacci, quien describió la sucesión como solución a un problema de cría de conejos.

El problema decía:

Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también.

En un lenguaje más actual:

  • Al comienzo del primer mes nace una pareja de conejos y a final de mes se cruzan.
  • Al final del segundo mes, la pareja A da a luz a la pareja B y se vuelve a cruzar la pareja A.
  • Al final de tercer mes, la pareja A da a luz a la pareja C y se cruzan las parejas A y B.
  • Al final del cuarto mes, las parejas A y B dan a luz a las parejas D y E y se cruzan las parejas A, B y C.
  • Al final del quinto mes, las parejas A, B y C dan a luz a las parejas F, G y H y se cruzan las parejas A, B, C, D y E.
  • Y así sucesivamente…

Es decir, las parejas se irían reproduciendo con el siguiente esquema:

  • Fin del mes 0: 0 parejas
  • Comienzo del primer mes: 1 pareja AA
  • Después de 1 mes: 1 pareja AA
  • Después de 2 meses: 2 parejas AA BB
  • Después de 3 meses: 3 parejas AA CC BB
  • Después de 4 meses: 5 parejas AA DD CC BB EE
  • Después de 5 meses: 8 parejas AA FF DD CC HH BB GG EE
  • Después de 6 meses: 13 parejas AA II FF DD LL CC KK HH BB JJ GG EE MM

En cada paso se indica en negrita la pareja de conejos que nace, a la derecha de la pareja adulta (después de un mes) que se han cruzado. Siguiendo la sucesión, es sencillo calcular el número de conejos después de «n» meses.

Podemos observar en la sucesión como el número de parejas de conejos en cada paso es la suma del número de parejas en los dos meses anteriores. Por ejemplo, después de 6 meses tenemos 13 parejas, que es la suma de 5 y 8 (el número de parejas en los meses 4 y 5).

Cálculo del elemento «n» en la sucesión de Fibonacci: F(n)

Para conocer el valor del elemento en cualquier posición de la sucesión, hay varios algoritmos o métodos, que además podemos implementar prácticamente con cualquier lenguaje de programación actual. Si utilizamos la propia definición de la sucesión de Fibonacci, podríamos programar la siguiente función:

La función sería válida para valores de «n» mayores o iguales que 2. Para n=0 la función vale 0, y para n=1 la función vale 1. Observamos que la función se define utilizando la propia definición de la función. Es una definición recursiva de la función y con los lenguajes de programación más extendidos (Java, C++, etc.), desde hace mucho tiempo podemos expresar este tipo de funciones.

Versión recursiva de la función Fibonacci

Para implementar la función Fibonacci con una definición recursiva, simplemente tomamos la función y la expresamos con instrucciones del lenguaje de programación que hemos elegido, en este caso Java. Podemos ver la definición recursiva en la línea 48.

El inconveniente de este tipo de definición recursiva es el número de sumas que se efectúan: concretamente f(n-1)-1 sumas. Es decir, en varios pasos del proceso se repiten cálculos (aunque con estrategias de programación dinámica se pondría solución a este problema).

Versión iterativa de la función Fibonacci

Otro enfoque para abordar el problema es implementar una versión iterativa del problema, con la que solamente es necesario realizar «n» sumas y no «f(n-1)-1» sumas, como en el caso recursivo.  Es decir, en la versión iterativa se va obteniendo en orden y paso a paso cada uno de los elementos de la sucesión en función de los 2 anteriores. Lógicamente, para poder empezar, es necesario definir los valores de los dos primeros elementos de la sucesión: 0 y 1. A continuación se suma 0+1=1 y se obtiene la sucesión 0,1,1. Se vuelven a sumar los dos últimos elementos 1+1=2 y se obtiene la sucesión 0,1,1,2. Se procede de la misma forma con el 1 y el 2, 1+2=3 y se añade a la sucesión: 0,1,1,2,3. Estos pasos son exactamente los que están programados en el código Java que se muestra a continuación. Se puede observar el cálculo de la suma de los dos elementos anteriores en la línea 38.

Fibonacci y diseño

También la sucesión de Fibonacci llega al diseño de interiores. Podéis echarle un vistazo a este curioso armario con una distribución de cajones siguiendo la famosa sucesión. Lo compartía el blog de matemáticas Gaussianos.

Y un último intento de explicar la sucesión de Fibonacci:

Wikipedia | Sucesión de Fibonacci
Wolfram|Alpha | Primeros números de la sucesión
Programa Java (rextester) | Versión iterativa | Versión recursiva
Fotografía | Fibonacci Cabinet de Utopia Architecture & Design (vía Gaussianos)

El «Quetzal Cuántico»: guía de instalación de Ubuntu para usuarios de Windows

El pasado 18 de octubre, como cada 6 meses, vio la luz la nueva versión 12.10 de Ubuntu. Siguiendo la tradición de bautizarla con nombre de animal y adjetivo, esta nueva versión se llama «Quantal Quetzal» (en español: «Quetzal cuántico»). Anteriormente (siempre siguen un orden alfabético) hemos conocido en Esfera TIC las versiones Precise Pangolin (abril 2012), Oneiric Ocelot (octubre 2011), Natty Narwhal (abril 2011), Maverick Meerkat (octubre de 2010), etc. Habría que remontarse a 2004 para habla de Warty Warthog, la primera versión (4.10) de este sistema operativo libre y de código abierto con núcleo Linux y basado en Debian.

Novedades

En cada lanzamiento de nuevas versiones de Ubuntu, el blog Genbeta analiza a fondo las nuevas características y funciones. En la versión 12.10 Quantal Quetzal desaparece Unity 2D, la versión más ligera de la interfaz de usuario. Aparece la opción de vista previa para aplicaciones, música, fotos, vídeo, PDF y otros formatos. Ubuntu ofrece ahora la fusión del escritorio con las aplicaciones web a través de las WebApps. También la posibilidad de agrupar varias cuentas que tengas en Internet. Social lens, Shopping lens y Photo lens, son tres formas nuevas de buscar contenidos  en redes sociales, espacios comerciales y servicios que alojen imágenes, como Flickr, Picasa o Facebook. Y como en otras actualizaciones, Ubuntu renueva algunas de sus herramientas y aplicaciones.

Guía de instalación

También siguiendo la tradición, he vuelto a elaborar para este curso una «Guía de instalación de Ubuntu para usuarios de Windows» adaptada a la nueva versión Quantal Quetzal. Se trata de un documento PDF de 7 páginas en el que explico paso a paso el proceso de descarga e instalación de Ubuntu en Windows. Aunque existen otras formas de instalación, el instalador Wubi es probablemente el más adecuado para usuarios de Windows que descubren Ubuntu por primera vez.

Guía (PDF) | Linux en casa (I) con Ubuntu 12.10 Quantal Quetzal
Ubuntu | Wubi – Windows Installer for Ubuntu
Foto | «Crystal Quetzal» de Sayantan Chaudhuri en Flickr

Más de 900 millones de ‘amigos’: «La red social», la película

«No haces 500 millones 900 millones de amigos sin ganarte algunos enemigos». Así se presentaba la película «La red social» cuando fue estrenada en octubre de 2010. Estamos en junio de 2012, y hay que corregir la cifra de usuarios de la red, de 500 a 900 millones. Las cifras hablan por sí solas.

Facebook, Twitter, Tuenti, Google Plus, Foursquare, …, son las redes sociales más conocidas en Internet. Cada una cuenta con unas características y funciones particulares que las hacen especiales. La más popular de todas a nivel mundial parece ser Facebook. Y algo tiene que marca una diferencia con el resto de redes.

Precisamente para reflexionar sobre éxito de Facebook y conocer más sobre la creación de este gran proyecto de red social, propongo una actividad en la que planteo varias cuestiones sobre la película «La red social» (2010) dirigida por David Fincher y protagonizada por Jesse Eisenberg (Mark Zuckerberg), Andrew Garfield (Eduardo Saverin), Justin Timberlake (Sean Parker) y Brenda Song (Christy Lee) entre otros.

Las cuestiones se refieren tanto a los inicios del proyecto, como aspectos técnicos y otros más sociales:

  • ¿Qué recursos fueron necesarios para empezar el proyecto de Facebook? ¿Qué infraestructura es necesaria ahora para soportar el tráfico de 900 millones de usuarios?
  • ¿Crees que es fácil emprender un proyecto como el de Facebook? ¿Qué características profesionales y personales crees que hace falta poseer? ¿Quiénes son Mark Zuckerberg, Eduardo Saverin y Sean Parker?
  • ¿Qué significa que la reputación de Facebook depende de que los servidores no “se caigan”?
  • «Vivíamos en granjas. Luego vivimos en ciudades, ahora vamos a vivir en la red.» ¿Qué supone la última parte de la frase: “…ahora vamos a vivir en la red”?
  • ¿Qué es el proyecto Diaspora? ¿qué lo diferencia de otros proyectos como Facebook o Tuenti?

La actividad

He reunido todas estas preguntas y otras más en un documento que puedes descagar.

El trailer de la película

No es la primera vez que propongo el «cine como recurso didáctico» en el blog. Te invito a visitar otras «actividades de cine», con la películas: «La habitación de Fermat» o «El hombre bicentenario».

Actividad | La red social (PDF, 2 páginas)
En Tiching | La red social
IMDb | La red social
Trailer | La Red Social (YouTube)

Combinatoria (II). Fórmulas de combinaciones, variaciones y permutaciones

¿Cuántos grupos diferentes de 4 personas podemos formar en una clase con 29 alumnos? ¿Cuántos formas diferentes hay de organizar los 9 libros de una estantería? ¿Cuántas clasificaciones diferentes (oro, plata y bronce) puede haber en una prueba de 100 metro lisos?

En la primera entrega del tema de combinatoria, compartía unos apuntes en los que resumía varias estrategias para conocer si nos enfrentamos a un problema de combinaciones, variaciones o permutaciones. Este es quizá el paso más complicado en la resolución de ejercicios de recuento, para aplicar generalmente en problemas de probabilidad. El siguiente paso es sencillamente aplicar las fórmulas correspondientes a cada tipo de problema de combinatoria, y es en esta segunda entrega de los apuntes donde explico cada una de ellas (para los casos sin repetición de elementos).

Apuntes | Ficha 2. Combinatoria (II). Fórmulas de combinaciones, variaciones y permutaciones
En Tiching | Combinatoria (II). Fórmulas de combinaciones, variaciones y permutaciones
Imagen | 100 Meters de Ken Slade en Flickr

Combinatoria (I). Combinaciones, variaciones y permutaciones

Cuando nos disponemos a aplicar la Regla de Laplace para calcular la probabilidad de un suceso A, necesitamos conocer el número de casos favorables y el de casos posibles:

Para un experimento como el de lanzar un dado, calcular el número de casos posibles es sencillo. Sabemos que existen 6 posibles resultados. Si el suceso objeto de estudio es “sacar par”, también podemos calcular mentalmente que son 3 los casos favorables (los resultados: 2,4,6).

Con estos datos, calcular la probabilidad del suceso A es inmediato: “sacar par con un dado”: P(A)=3/6=0,5 (un 50%).

Técnicas de recuento

Sin embargo, el problema se puede complicar. Imaginemos que el experimento que estudiamos es el lanzamiento, no de un dado, sino de 2 dados a la vez, y que el suceso objeto de estudio es “sacar suma par”.

Ahora el número de casos posibles ya no es 6. Y el número de casos favorables para “sacar suma par”, no es 3. En ambos casos son muchos más. Pero, ¿cuántos casos exactamente? Para calcular con exactitud la probabilidad de un suceso es necesario hacer un recuento exacto de los casos favorables y posibles. Y es aquí donde entra en juego la combinatoria.

Hay 18 formas diferentes de combinar los resultados de dos dados para obtener una suma par, de un total de 36 parejas posibles de resultados.

La probabilidad del suceso A “sacar sumar par con 2 dados” es: P(A)=18/36=0,5 (un 50%). El número de casos favorables y posibles es diferente y mucho mayor que con un solo dado (aunque observamos que la probabilidad vuelve a ser un 50%).

En general, se trataría de buscar métodos ordenados para no dejar ninguna combinación fuera. Podemos emplear estructuras en forma de matriz (como la tabla anterior), en forma de árbol, etc. para realizar un recuento ordenado.

Para unos pocos elementos podemos anotar todas las posibles combinaciones. Sin embargo, cuando el número de elementos crece considerablemente, se hace necesaria alguna fórmula que simplifique el cálculo de todas las combinaciones posibles. Por ejemplo, para calcular el número total de parejas del problema anterior, bastaría con aplicar una sencilla fórmula:

donde m (6) es el número de posibles resultados al lanzar un solo dado, y n (2) es el número de dados que utilizamos. Para este problema en particular, estaríamos aplicando la fórmula de variación.

De esta forma, dependiendo del tipo de problema – si el orden de los elementos es importante o si podemos repetir elementos – nos enfrentamos a distintos tipo problemas de combinatoria: combinaciones, variaciones y permutaciones, con y sin repetición.

¿C, V o P? ¿CR, VR o PR?

¿Cómo saber a qué tipo de problema de combinatoria nos enfrentamos? Básicamente, hay que plantear 3 preguntas:

  1. ¿Importa el orden? (O)
  2. ¿Se hacen subgrupos? (S) (si se utilizan todos los elementos, no se hacen subgrupos)
  3. ¿Se pueden repetir elementos? (R)

Ficha 1. Combinatoria (I). Combinaciones, variaciones y permutaciones

Comparto esta ficha que reúne los primeros apuntes sobre combinatoria. En breve, publicaré nuevos apuntes con fórmulas y varios ejemplos de aplicación.

Apuntes | Ficha 1. Combinatoria (I). Combinaciones, variaciones y permutaciones
En Tiching | Combinaciones, variaciones y permutaciones

Piedra, papel, tijera, lagarto, Spock. Una cuestión de combinatoria

The Big Bang Theory es una de las mejores series que he visto en mucho tiempo. En ella se hacen continuamente referencias al mundo de las matemáticas, la física y ciencia en general. En mi opinión el guión está lleno de genialidad. Mi serie favorita, sin más.

La serie cuenta con su propia página en Wikipedia que presenta a los personajes, cada uno de ellos con alguna rareza:

La serie comienza con la llegada de Penny, aspirante a actriz, al apartamento vecino que comparten Sheldon y Leonard, dos físicos, que trabajan en el Instituto Tecnológico de California (Caltech). Ambos son intelectuales brillantes en su trabajo, amigos a su vez de Howard y Raj, que son presentados como unos completos geeks, muy alejados de las inquietudes y problemas de la gente común. Howard Wolowitz es un ingeniero pseudo-galán de origen judío, paradigma de una película psicodélica de los sesenta. Rajesh Koothrappali es astrofísico de nacionalidad india. En el curso de la serie se muestra la dificultad de los protagonistas masculinos para relacionarse con personas fuera de su entorno, principalmente de sexo femenino, dando lugar a situaciones cómicas.

La serie contiene una gran cantidad de situaciones muy cómicas y referencias a principios y teorías físicas auténticas, aunque son simplificados al máximo para poder ser entendidos rápidamente por la audiencia que no posea estudios en física, matemáticas o ingeniería.

De todos los personajes, probablemente el más popular es Sheldon Cooper. El blog emezeta publicaba «20 razones por las que gusta Sheldon Cooper»: sus normas y cláusulas, el uso que hace del Klingon, su infancia, sus referencias a la tecnología o sus teorías en general. Una de sus rarezas más divertidas es su versión del popular juego «Piedra, papel o tijera». Según él, «está demostrado que los jugadores que se conocen empatan entre un 75 y un 80% de las veces por el número limitado de resultados». Es por esta razón que tiene su propia versión del juego, que incluye a un lagarto y el saludo de Spock en Star Trek. En varios capítulos de la serie aparecen los personajes jugando a «Piedra, papel, tijera, lagarto, Spock». En esta escena explica las reglas del juego:

La lista de las 10 reglas del juego es la siguiente:

1. Scissors cuts Paper
2. Paper covers Rock
3. Rock crushes Lizard
4. Lizard poisons Spock
5. Spock smashes Scissors
6. Scissors decapitates Lizard
7. Lizard eats Paper
8. Paper disproves Spock
9. Spock vaporizes Rock
10. Rock crushes Scissors

En español:

“Las tijeras cortan el papel, el papel cubre a la piedra, la piedra aplasta al lagarto, el lagarto envenena a Spock, Spock destroza las tijeras, las tijeras decapitan al lagarto, el lagarto se come el papel, el papel refuta a Spock, Spock vaporiza la piedra, y, como es habitual… la piedra aplasta las tijeras.”

Las reglas en un grafo dirigido

Incluso escuchando con atención, no resulta sencillo memorizar todas las posibles combinaciones de posibles resultados. Es por ello que podemos encontrar publicados en Internet infinidad de gráficos explicando detalladamente las reglas. Se suele utilizar lo que se conoce en matemáticas como grafo: una serie de puntos (vértices o nodos) unidos por líneas (aristas). Para representar las reglas del juego son necesarios 5 puntos y 10 líneas. Los puntos son las 5 posibles opciones del juego: piedra, papel, tijera, lagarto o Spock. Las líneas representan las distintas combinaciones entre las opciones de juego. En particular, las aristas (líneas) de este grafo son del tipo «dirigidas», representadas con una flecha, para indicar que no es lo mismo que el jugador 1 saque «piedra» y el jugador 2 saque «tijera», que al contrario.

Cuestión de combinatoria

Observamos 10 combinaciones posibles. Este es un dato que podemos ver a simple vista, contando el número de flechas, que no son demasiadas. Pero, ¿cuántas combinaciones posibles habría si quisiéramos incluir un elemento más en el juego? ¿y si fueran un total de 10 elementos? ¿Existe alguna forma de calcular las posibles combinaciones sabiendo el número de elementos que hay que combinar por parejas? Existe un método, y una parte de las matemáticas se encarga precisamente de este tipo de cálculos: la combinatoria.

Para este juego en particular, puesto que solo queremos conocer el número de parejas distintas que se pueden formar, habría que aplicar la fórmula de las combinaciones, donde «n» es el número de elementos para combinar (5 elementos),  y «k» el subgrupo que se forma (parejas: 2 elementos).

Recientemente explicaba la función factorial (!) en este mismo blog. Sustituyendo n por 5 y k por 2, y realizando los cálculos, obtenemos el resultado de 10 combinaciones para 5 elementos agrupados por parejas. Si fueran 10 elementos tendríamos 45 combinaciones y si fueran 20, 190 combinaciones. WolframAlpha también es capaz de realizar el cálculo de forma inmediata utilizando los términos de búsqueda «combinations 10 2».

La combinatoria es una parte de las matemáticas que es fundamental conocer para el cálculo de probabilidades, principalmente para hallar con exactitud el número de casos favorables de un suceso o todos los casos posibles de un determinado experimento.

Piedra, papel, tijera, lagarto, Spock. Versión en Java para jugar

Para los que no tengan ni tiempo ni ganas de memorizar las reglas del juego, pueden jugar directamente con la implementación (siempre mejorable) que he hecho del juego con el lenguaje de programación Java. Básicamente se han programado las reglas utilizando una matriz que almacena el resultado de cada posible jugada, que se genera de forma aleatoria.

(clic sobre la imagen para jugar)

El juego también cuenta con su propio artículo en Wikipedia, y también existe todo tipo de merchandising alrededor de esta genial ocurrencia.

Vídeo TBBT | Rock, Paper, Scissors, Lizard, Spock (subtítulos en español)
Código Java | Rock, Paper, Scissors, Lizard, Spock

Bases de Datos (III). Diseño lógico

En la serie de materiales sobre Bases de Datos, presenté algunos conceptos y definiciones, además de la realización de un proyecto completo, resumiendo cada una de las fases que lo componen: análisis, esquema, tablas, datos y consultas. En la Fase 2 del diseño de la Base de Datos, propuse la elaboración de un esquema de la BD utilizando el Modelo Entidad-Relación.

Una vez terminado y validado el diagrama, ya estamos en disposición de comenzar la Fase 3, en la que nos enfrentamos al diseño de la BD con el ordenador, utilizando un Sistema de Gestión de Base de Datos.

Esta fase se conoce como diseño lógico. En este punto del proyecto, transformamos el esquema de la base de datos (diseño conceptual), en una serie de estructuras lógicas (tablas, campos, claves primarias y ajenas, etc.), que permitirán almacenar los datos de una forma óptima, sin redundancia de datos (que no haya duplicidad de información; que no se repita el mismo dato) y garantizando la integridad referencial: que no se pueda relacionar un dato A con otro dato B, si este último no existe todavía en la base de datos.

El objetivo es definir correctamente los campos y claves de las tablas, y las relaciones entre ellas, para que el sistema gestor de base de datos pueda avisar con un mensaje de error si el usuario está intentando realizar una operación incorrecta sobre la base de datos, y que no corresponde con el diseño del esquema inicial.

He resumido en estos apuntes los pasos necesarios para definir las distintas relaciones entre entidades que se pueden dar en la fase de diseño lógico.

Ficha (4) | Diseño lógico (PDF, 2 páginas)
En Tiching | Bases de datos (III). Diseño lógico.
Ficha (3) | Modelo Entidad-Relación (PDF, 2 páginas)
Fichas (1) y (2) | Bases de Datos (I). Fases de diseño

Trocitos de código (I). Lanzando una moneda millones de veces: ¿cara o cruz?

Hace unos días explicaba cómo realizar una simulación del lanzamiento de un dado utilizando las funciones de generación de número aleatorios y de recuento de la hoja de cálculo. Los resultados del experimento permitían comprobar la Ley de los Grandes Números.

Diseñar la hoja de cálculo que simula el experimento no entraña demasiada dificultad, si uno sigue los pasos indicados en la actividad y ha utilizado fórmulas de hoja de cálculo en alguna ocasión (recomiendo echar un vistazo a las fichas sobre OpenOffice Calc que preparé hace tiempo). Sin embargo, el entorno de hoja de cálculo no siempre es el más adecuado para realizar algunos experimentos. Cualquiera que intente aumentar el número de lanzamientos de dado de la actividad, comprobará que la memoria del sistema se resiente, y es más que probable que el ordenador se «cuelgue» durante algunos segundos. Los programas de ofimática son lo que son; no les podemos pedir más.

En realidad es una excusa para introducir una nueva sección en el blog: «Trocitos de código», entradas en las que comparto algún fragmento de código (conocidos en inglés como, Code Snippets) escritos con algún lenguaje de programación y que resuelve algún problema concreto. No es mi intención (de momento) explicar ningún concepto de programación, pero si despertar la curiosidad por este arte y utilizarla como herramienta para poner a prueba y comprender mejor algunos conceptos matemáticos.

Lanzamiento de una moneda

En esta ocasión propongo la simulación del lanzamiento de una moneda para comprobar de nuevo la Ley de los Grandes Números:

«La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse hacia una constante a medida que se repite el experimento.»

En el caso de una moneda, en cada lanzamiento la probabilidad de que salga «cara» o «cruz» es exactamente la misma (son sucesos equiprobables), de modo que para cada posible resultado la probabilidad es del 50% (0,5 para «cara» y 0,5 para «cruz»).

La probabilidad de un suceso es la constante a la que se aproxima la frecuencia relativa cuando el experimento se repite muchísimas veces.

Simulación con Java: versión «mini»

Sabemos que debemos repetir el experimento de lanzar la moneda un número «muy grande» de veces. El siguiente fragmento de código escrito en Java realiza precisamente el experimento de lanzar una moneda. Por defecto lo hace 10 millones de veces (l=10000000) y cada 5000 lanzamientos (m=5000) muestra la frecuencia relativa hasta el momento. Lógicamente, estos valores se pueden cambiar.

Para modificar el problema, bastaría con utilizar cualquier editor de «texto plano» para realizar los cambios. Y para generar el programa final y probarlo, habría que disponer de un entorno de compilación y ejecución de Java. Bien, nada de esto es necesario. Existen en Internet algunos entornos de compilación y ejecución online, que permiten probar fragmentos de código. Este es el caso de rextester, una página web en la que podemos escribir nuestro código en varios lenguajes de programación y probar su funcionamiento, además de guardarlo y compartirlo con otros usuarios.

He utilizado este entorno para que podáis probar fácilmente la versión «mini» del programa que realiza la simulación del experimento (clic sobre la imagen del código). Una vez en la web de rextester, basta con hacer clic sobre «Run it» o darle a la tecla F8.

Simulación con Java: versión completa

La versión anterior utiliza el código mínimo (o casi) para realizar la simulación. Este segundo ejemplo de código, mucho más completo y con comentarios, muestra la simulación paso a paso, con los detalles de los lanzamientos de moneda.

Una vez lanzada la simulación, observamos los resultados del experimento. En cada fila aparecen 10 lanzamientos de moneda, con una C o una X, según el resultado de «cara» o «cruz» obtenido. Cada 10 lanzamientos se calcula la frecuencia relativa del suceso «sacar cruz». En los primeros lanzamientos, observamos que el valor de frecuencia relativa ronda 0,5 pero es inestable.

Sin embargo, a medida que el número de lanzamientos crece considerablemente, comprobaremos que la frecuencia relativa se va estabilizando y aproximando de forma más exacta al valor 0,5.

Simulación con GeoGebra

Este mismo experimento se puede realizar también con GeoGebra, un software para matemáticas del que ya he hablado en Esfera TIC en más de una ocasión. La simulación del experimento de lanzar una moneda se puede repetir 10, 100 y 1000 veces.

En Tiching | Lanzando una moneda millones de veces
Código 1 | Lanzamiento de una moneda (versión mini)
Código 2 | Lanzamiento de una moneda (versión completa)
Simulación con GeoGebra | Lanzamiento de una moneda
Foto código | Ruby ruby de Elliott Cable en Flickr
Foto moneda | Lucky Six – PCA 58 de Donald Macleod

La Ley de los Grandes Números y los 1000 lanzamientos de un dado

Recientemente compartía una serie de recursos para motivar el tema de la probabilidad en el aula, un área que tiene cierto éxito entre otros temas del libro. Comentaba que cuando se empiezan a introducir conceptos de teoría de conjuntos, combinatoria y otras formulas, muchas veces el interés por el tema ya no es el mismo. En la actividad TIC para el aula de matemáticas que propongo esta semana, se dan por estudiados ya varios conceptos de probabilidad (sucesos, Regla de Laplace, frecuencias, etc.) Es una actividad con la que el alumno puede comprobar por sí mismo, a través de simulaciones, como se cumple, por ejemplo, la Ley de los Grandes Números.

¿Cuál es la probabilidad de sacar un «6» con un dado? Suponemos, lógicamente, un dado de 6 caras, con las caras numeradas del 1 al 6 y en el que todas los posibles resultados (sucesos elementales) son igualmente probables (equiprobables). Todos diríamos 1 de 6, es decir, un 16,67 % de probabilidad de sacar un «6», o cualquiera de los posibles resultados. Acabamos de aplicar la Regla de Laplace para el cálculo de probabilidades: simplemente dividiendo el número de casos favorables (1, porque solo hay un «6») entre el número de casos posibles (6, porque hay 6 posibles valores), obtenemos dicha probabilidad.

Pero, ¿qué sucedería si repitiéramos el experimento de lanzar un dado varias veces, por ejemplo, 10? En cada lanzamiento, la probabilidad seguiría siendo del 16,67%, y podría salir el «6» o no. Podrían salir diez «6» o ninguno en los 10 lanzamientos. 10 es un número pequeño.

Sin embargo, ¿qué sucedería si en lugar de 10 lanzamientos repetimos el experimento con 100? ¿y con 1000? Bien, aquí entra en juego la Ley de los Grandes Números, que dice así:

«La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse hacia una constante a medida que se repite el experimento.»

Recordemos que la frecuencia relativa de un suceso A (obtener un «6»), al realizarse un experimento N veces, se obtiene de dividir la frecuencia absoluta (las veces que sale el «6»), dividido por el número total de veces que se ha repetido el experimento.

Y, ¿hacia qué valor constante tiende a estabilizarse la frecuencia relativa del suceso «obtener un 6» cuando repetimos el experimento, por ejemplo, 1000 veces. Puedes comprobarlo en la gráfica, resultado de una simulación realizada con un hoja de cálculo, y que es el objetivo de esta actividad.

El valor se aproxima a algo más de 0,15, exactamente 0,167. ¿No es curioso que coincida con el valor que habíamos calculado con la Regla de Lapace? Y es que:

«La probabilidad de un suceso es la constante a la que se aproxima la frecuencia relativa cuando el experimento se repite muchísimas veces.»

Con el objetivo de comprobar que efectivamente la Ley de los Grandes Números se cumple, propongo una actividad para trabajar con las TIC, que consiste en diseñar una hoja de cálculo capaz de simular el experimento de lanzar “N” veces un dado.

La hoja de cálculo agrupará los lanzamientos de 10 en 10, para ir calculando automáticamente las veces que se obtiene un determinado resultado y la frecuencia relativa de tal suceso. Finalmente, se generará con el programa una gráfica que mostrará cómo la frecuencia relativa tiende a una constante.

La actividad

En el siguiente documento (PDF, 4 páginas), está detallada la actividad y las fórmulas de hoja de cálculo necesarias para generar números aleatorios y realizar los cálculos de frecuencias.

Actividad | La Ley de los Grandes Números (PDF, 4 páginas)
En Tiching | La Ley de los Grandes Números
Software | LibreOffice.org (incluye Calc, para diseño de hojas de cálculo)
Imagen Dados | Dice de Swiss Bones en Flickr