Combinatoria (II). Fórmulas de combinaciones, variaciones y permutaciones

¿Cuántos grupos diferentes de 4 personas podemos formar en una clase con 29 alumnos? ¿Cuántos formas diferentes hay de organizar los 9 libros de una estantería? ¿Cuántas clasificaciones diferentes (oro, plata y bronce) puede haber en una prueba de 100 metro lisos?

En la primera entrega del tema de combinatoria, compartía unos apuntes en los que resumía varias estrategias para conocer si nos enfrentamos a un problema de combinaciones, variaciones o permutaciones. Este es quizá el paso más complicado en la resolución de ejercicios de recuento, para aplicar generalmente en problemas de probabilidad. El siguiente paso es sencillamente aplicar las fórmulas correspondientes a cada tipo de problema de combinatoria, y es en esta segunda entrega de los apuntes donde explico cada una de ellas (para los casos sin repetición de elementos).

Apuntes | Ficha 2. Combinatoria (II). Fórmulas de combinaciones, variaciones y permutaciones
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Imagen | 100 Meters de Ken Slade en Flickr

Probabilidad de la unión de sucesos (compatibles e incompatibles)

Supongamos el experimento de lanzar un dado. Existen 6 posibles resultados: 1,2,3,4,5 y 6. En un primer ejemplo, supongamos también dos sucesos A y B. El primero, A, se refiere al suceso «sacar menor que 5». El suceso B, «sacar número par».

Realizar el cálculo de la probabilidad de A es sencillo: 4 casos favorables de 6 posibles. Para el suceso B: 3 casos favorables de 6 posibles. Un 67% y un 50% respectivamente. Pero, ¿cuál es la probabilidad de la unión de ambos sucesos? Con otras palabras, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra uno u otro? Si sumamos ambas probabilidades, obtenemos un 117%, lo cual es incorrecto. Las probabilidades siempre tienen un valor entre 0 y 1 (0% y 100%).

Sin embargo, con un segundo ejemplo en el que el suceso A es «sacar par» (50%) y B «sacar impar» (50%), la suma de probabilidades es correcta: un 100% (se trata de un suceso seguro; podemos afirmar rotundamente que o bien sale par o sale impar).

¿Por qué la suma de probabilidades «funciona» para el segundo ejemplo pero no para el primero? La clave está en la compatibilidad de los sucesos. En el primer ejemplo, los sucesos son compatibles. En el segundo, incompatibles. Y para responder a estas preguntas he preparado unos apuntes sobre el cálculo de la probabilidad de la unión de sucesos, compatibles e incompatibles.

Apuntes | Probabilidad de la unión de sucesos
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Foto | Dice five de Doug Wheller en Flickr

Sonido Digital (I): digitalización, codecs y formatos de audio

Escuchar música, o sonido en general, es algo natural para todos. Encendemos el ordenador, el equipo musical o nuestro reproductor en el móvil… y le damos al play. A partir de ese instante, sencillamente nos dedicamos a disfrutar con el MP3 de nuestro grupo musical favorito o con algún podcast que acabamos de descargar de Internet. En cualquiera de los casos, estamos reproduciendo un archivo de audio en formato digital. Para los curiosos: ¿cómo ha llegado esa información ahí? ¿de qué forma se ha conseguido almacenar?

Hemos estudiado en Ciencias Naturales o en Física que el sonido consiste en ondas que producen oscilaciones de la presión del aire, que son convertidas en ondas mecánicas en el oído humano y que el cerebro es capaz de percibir. Así es como logramos oir. Sin embargo, ¿cómo tratan los ordenadores el sonido? Pues no son capaces de tratar la información analógica (ondas), sino que procesan la información digitalmente.

Para tratar este tema he resumido en algunos apuntes los aspectos fundamentales del sonido digital, desde las propiedades básicas del sonido, el proceso de digitalización y los codecs y formatos de archivo de audio. Se trata de una primera parte. En una segunda entrega pubicaré algo sobre reproductores y edición de sonido.

Sobre frecuencias de muestreo, bitrates y formatos de archivos de audio, recomiendo también estos dos vídeos de la Fundación Universitaria Católica del Norte.

En el primero explica qué es la frecuencia de muestreo y el bitrate, especialmente con la idea de publicar contenidos de audio en Internet, donde se hace necesario un equilibrio entre la calidad del sonido y el tamaño del archivo.

En el segundo vídeo explica los principales formatos de audio utilizados en Internet.

En próximas entregas: reproductores y edición de audio digital.

ApuntesEl sonido digital (I) (5 páginas, PDF)
En Tiching | El sonido digital (I)
Vídeos | Los formatos de audio | Características del audio
Wikipedia | Audio Digital | Formato de archivo de audio
Imagen Tarjeta de Sonido | Asus Xonar DG Soundcard de William Hook en Flickr

Chuleta de fórmulas: área y perímetro de figuras planas

No quería terminar la semana sin antes dejar este documento en forma de chuleta de fórmulas de geometría 2D. Ayer presentaba un resumen de todo lo publicado hasta el momento sobre áreas y perímetros de figuras planas. Con este último documento cierro la primera serie de recursos sobre el tema.

Dejo también el enlace a la colección de documentos en Issuu Continuar leyendo «Chuleta de fórmulas: área y perímetro de figuras planas»