Desafíos Matemáticos #5: Los 5 rectángulos

Con este quinto desafío matemático, ya sólo quedan 3 enigmas para completar la serie de problemas de lógica y matemáticas que voy proponiendo cada semana.

Con este quinto desafío matemático, ya sólo quedan 3 enigmas para completar la serie de problemas de lógica y matemáticas que voy proponiendo cada semana.

Forma 5 rectángulos tomando como lados los números que aparecen en la siguiente lista:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

El desafío consiste en colocar los 5 rectángulos de tal modo de formen cuadrado de 11×11. Por ejemplo, se pueden construir rectángulos de 1×3, 4×8, 9×5, etc. Sin embargo, cada número se puede utilizar sólo una vez. Es decir, no es posible formar dos rectángulos, uno de 2×3 y otro de 3×7.

¡A pensar… y suerte!

El desafío de la semana pasada -El Supermercado- era probablemente uno de los más fáciles de esta primera serie. Después de pensar durante algunos minutos, es relativamente sencillo encontrar la solución al problema. La pregunta formulada era la siguiente:

Un matrimonio sale del supermercado después de hacer la compra semanal. Entre los dos cargan varias bolsas hasta que a mitad de camino el marido empieza a quejarse por el peso que lleva en sus manos. Su mujer le dice:

– ¿Por qué te quejas? ¡Si me das una de tus bolsas, yo tendré el doble que tú. Y si yo te doy una, los dos llevaremos el mismo peso!

¿Cuántas bolsas lleva cada uno?

La respuesta es 5 y 7, es decir, el marido lleva 5 bolsas y la mujer lleva 7. Por lo tanto, si el marido le da una de sus bolsas a su mujer, él se queda con 4 (5-1) y ella con 8 (7+1). Si por el contrario, la mujer es la que le da una bolsa a su marido, ella se queda con 6 (7-1) y él con 6 también (5+1).

Aunque la solución se puede hallar pensando mentalmente posibles combinaciones de números de bolsas, lo más fácil es plantear un sencillo sistema de ecuaciones que directamente resuelva el problema. Supondremos que ‘y’ es el número de bolsas que lleva la mujer y ‘x’ el número de bolsas que lleva su marido. Para ello escribiríamos:

y + 1 = 2(x-1)

x + 1 = y – 1

Con la primera ecuación estamos expresando la situación en la que el marido, que lleva inicialmente ‘x’ bolsas, le da una a su mujer, que se queda con una más, es decir, con y+1; y el marido por tanto se queda con una menos,  x-1 bolsas. Esa cantidad es el doble de lo que lleva la mujer, expresado por la igualdad 2(x-1) = y + 1

La segunda ecuación, x + 1 = y – 1, indica que si es la mujer la que le da una bolsa al marido, esta se queda con una menos (y-1) y él con una más (x+1).

Resolviendo el sistema de ecuaciones por cualquier de los métodos tradicionales (sustitución, reducción, igualación, …) llegamos a la solución x=5 e y=7. La figura muestra la resolución del sistema de ecuaciones de forma gráfica representando las dos rectas con GeoGebra y calculando la intersección, que es el punto (5,7), es decir, x=5 e y=7.

Enlaces: Desafío #1 | Desafío #2 | Desafío #3 | Desafío #4

Desafíos Matemáticos #4: El Supermercado

Como vengo haciendo cada viernes, aquí tenéis la cuarta entrega de la serie de desafíos matemáticos: «El Supermercado». Se trata de un problema que, bien planteado, puede ser resuelto rápidamente con algún cálculo matemático que otro. ¡A pensar… y suerte!

Como vengo haciendo cada viernes, aquí tenéis la cuarta entrega de la serie de desafíos matemáticos: «El Supermercado». Se trata de un problema que, bien planteado, puede ser resuelto rápidamente con algún cálculo matemático que otro. ¡A pensar… y suerte!

Un matrimonio sale del supermercado después de hacer la compra semanal. Entre los dos cargan varias bolsas hasta que a mitad de camino el marido empieza a quejarse por el peso que lleva en sus manos. Su mujer le dice:

– ¿Por qué te quejas? ¡Si me das una de tus bolsas, yo tendré el doble que tú. Y si yo te doy una, los dos llevaremos el mismo peso!

¿Cuántas bolsas lleva cada uno?

Para resolver el desafío asumimos que todas las bolsas tienen el mismo peso.

Y comento a continuación la solución del Desafío #3: Los Arqueros. Continuar leyendo «Desafíos Matemáticos #4: El Supermercado»

Desafíos Matemáticos #3: Los Arqueros

Una semana más, os animo a resolver el tercero de los desafíos de la serie de juegos de lógica y matemáticas que propongo a algunos alumnos de 3º de ESO. De momento, con más o menos pistas, han ido resolviendo en pocas horas desde la publicación del enunciado. ¡Hay nivel! El nuevo enigma dice así: … Continuar leyendo «Desafíos Matemáticos #3: Los Arqueros»

Una semana más, os animo a resolver el tercero de los desafíos de la serie de juegos de lógica y matemáticas que propongo a algunos alumnos de 3º de ESO. De momento, con más o menos pistas, han ido resolviendo en pocas horas desde la publicación del enunciado. ¡Hay nivel! El nuevo enigma dice así:

Dos arqueros practican el tiro al blanco. La diana tiene dibujados una serie de anillos concéntricos, de radios 1, 2, 3, 4 y 5, como muestra la figura.

Los dos arqueros disparan varias flechas con el siguiente resultado:

  • Las del segundo arquero están más próximas al centro que las del primer arquero.
  • El área total de los anillos en los que acierta el primer arquero es igual que el área total de los anillos en los que da el segundo arquero.

El desafío consiste en saber en qué anillos dieron los dos arqueros.

Aclaraciones:
(1) Para dar por válida la solución, habrá que argumentarla de forma correcta y completa, no sólo indicar en qué anillos aciertan los arqueros.
(2)
Se puede dar en un anillo más de una vez, pero sólo cuenta una vez de cara al área.

¡A pensar…y suerte!

Y a continuación, la solución al último de los desafíos: el cuadrado mágico. El problema consistía en rellenar con números del 1 al 9 un cuadrado mágico de dimensiones 3×3, cuyas filas, columnas y diagonales sumen 15 y obligatoriamente el número 8 debe estar en la casilla superior central.

El enunciado no exige que se utilicen los número enteros del 1 al 9. Si se intenta resolver el cuadrado con estos 9 números, no existe solución. Sin embargo, si existe solución (de hecho, infinitas soluciones) si se utilizan números decimales. En ocasiones, la pista clave para resolver un desafío está en leer detenidamente el enunciado, y examinar bien cuáles son las restricciones que se imponen.

Desafíos Matemáticos #2: Cuadrado Mágico

Esta semana propongo un segundo desafío matemático. Tras leer el enunciado puede parecer sencillo encontrar una solución al problema, sin embargo, seguro que os lleva varios minutos empezar a dar con la clave. El cuadrado mágico de números de dimensiones 3×3 es como muestra la figura: Cada casilla debe contener un número diferente, y cada … Continuar leyendo «Desafíos Matemáticos #2: Cuadrado Mágico»

Esta semana propongo un segundo desafío matemático. Tras leer el enunciado puede parecer sencillo encontrar una solución al problema, sin embargo, seguro que os lleva varios minutos empezar a dar con la clave.

El cuadrado mágico de números de dimensiones 3×3 es como muestra la figura:

Cada casilla debe contener un número diferente, y cada fila, cada columna y cada diagonal suma 15.

El nuevo desafío consiste en encontrar un cuadrado mágico que cumpla las mismas condiciones pero con la restricción de que el número 8 esté colocado en la casilla superior central, de la siguiente forma:

¡A pensar…y suerte!

La semana pasada proponía el primer desafío, retando a los alumnos a encontrar el máximo número de partes en que se podía dividir un rosco con solo 3 cortes rectos. Bien, son 9 los fragmentos que se pueden obtener de la siguiente forma:

Desafíos Matemáticos #1: El Rosco

Con este primer enigma comienza una serie de juegos de lógica y otros desafíos matemáticos que planteo a los alumnos en forma de concurso.

Con este primer enigma comienza una serie de juegos de lógica y otros desafíos matemáticos que planteo a los alumnos en forma de concurso. Deberán resolver semanalmente un problema de los 7 que componen la primera ronda.

Si se corta este rosco con tres cortes rectos, ¿cuál es el máximo número de partes que se puede hacer?

La solución a este primer desafío se publicará junto al enunciado del segundo.