Trocitos de código (I). Lanzando una moneda millones de veces: ¿cara o cruz?

Hace unos días explicaba cómo realizar una simulación del lanzamiento de un dado utilizando las funciones de generación de número aleatorios y de recuento de la hoja de cálculo. Los resultados del experimento permitían comprobar la Ley de los Grandes Números.

Diseñar la hoja de cálculo que simula el experimento no entraña demasiada dificultad, si uno sigue los pasos indicados en la actividad y ha utilizado fórmulas de hoja de cálculo en alguna ocasión (recomiendo echar un vistazo a las fichas sobre OpenOffice Calc que preparé hace tiempo). Sin embargo, el entorno de hoja de cálculo no siempre es el más adecuado para realizar algunos experimentos. Cualquiera que intente aumentar el número de lanzamientos de dado de la actividad, comprobará que la memoria del sistema se resiente, y es más que probable que el ordenador se «cuelgue» durante algunos segundos. Los programas de ofimática son lo que son; no les podemos pedir más.

En realidad es una excusa para introducir una nueva sección en el blog: «Trocitos de código», entradas en las que comparto algún fragmento de código (conocidos en inglés como, Code Snippets) escritos con algún lenguaje de programación y que resuelve algún problema concreto. No es mi intención (de momento) explicar ningún concepto de programación, pero si despertar la curiosidad por este arte y utilizarla como herramienta para poner a prueba y comprender mejor algunos conceptos matemáticos.

Lanzamiento de una moneda

En esta ocasión propongo la simulación del lanzamiento de una moneda para comprobar de nuevo la Ley de los Grandes Números:

«La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse hacia una constante a medida que se repite el experimento.»

En el caso de una moneda, en cada lanzamiento la probabilidad de que salga «cara» o «cruz» es exactamente la misma (son sucesos equiprobables), de modo que para cada posible resultado la probabilidad es del 50% (0,5 para «cara» y 0,5 para «cruz»).

La probabilidad de un suceso es la constante a la que se aproxima la frecuencia relativa cuando el experimento se repite muchísimas veces.

Simulación con Java: versión «mini»

Sabemos que debemos repetir el experimento de lanzar la moneda un número «muy grande» de veces. El siguiente fragmento de código escrito en Java realiza precisamente el experimento de lanzar una moneda. Por defecto lo hace 10 millones de veces (l=10000000) y cada 5000 lanzamientos (m=5000) muestra la frecuencia relativa hasta el momento. Lógicamente, estos valores se pueden cambiar.

Para modificar el problema, bastaría con utilizar cualquier editor de «texto plano» para realizar los cambios. Y para generar el programa final y probarlo, habría que disponer de un entorno de compilación y ejecución de Java. Bien, nada de esto es necesario. Existen en Internet algunos entornos de compilación y ejecución online, que permiten probar fragmentos de código. Este es el caso de rextester, una página web en la que podemos escribir nuestro código en varios lenguajes de programación y probar su funcionamiento, además de guardarlo y compartirlo con otros usuarios.

He utilizado este entorno para que podáis probar fácilmente la versión «mini» del programa que realiza la simulación del experimento (clic sobre la imagen del código). Una vez en la web de rextester, basta con hacer clic sobre «Run it» o darle a la tecla F8.

Simulación con Java: versión completa

La versión anterior utiliza el código mínimo (o casi) para realizar la simulación. Este segundo ejemplo de código, mucho más completo y con comentarios, muestra la simulación paso a paso, con los detalles de los lanzamientos de moneda.

Una vez lanzada la simulación, observamos los resultados del experimento. En cada fila aparecen 10 lanzamientos de moneda, con una C o una X, según el resultado de «cara» o «cruz» obtenido. Cada 10 lanzamientos se calcula la frecuencia relativa del suceso «sacar cruz». En los primeros lanzamientos, observamos que el valor de frecuencia relativa ronda 0,5 pero es inestable.

Sin embargo, a medida que el número de lanzamientos crece considerablemente, comprobaremos que la frecuencia relativa se va estabilizando y aproximando de forma más exacta al valor 0,5.

Simulación con GeoGebra

Este mismo experimento se puede realizar también con GeoGebra, un software para matemáticas del que ya he hablado en Esfera TIC en más de una ocasión. La simulación del experimento de lanzar una moneda se puede repetir 10, 100 y 1000 veces.

En Tiching | Lanzando una moneda millones de veces
Código 1 | Lanzamiento de una moneda (versión mini)
Código 2 | Lanzamiento de una moneda (versión completa)
Simulación con GeoGebra | Lanzamiento de una moneda
Foto código | Ruby ruby de Elliott Cable en Flickr
Foto moneda | Lucky Six – PCA 58 de Donald Macleod

Geometría 2D: el resumen

Después de escribir varias entradas con recursos de geometría, creo que es momento de presentar en forma de resumen lo publicado hasta el momento. Pretendo con ello reunir todos los apuntes sobre geometría de figuras planas elaborados hasta ahora.

Con «Matemáticas interactivas con GeoGebra» presentaba en primer lugar este software educativo para matemáticas diseñado principalmente para ser utilizado en colegios y universidades. Es un procesador geométrico y algebraico con el que podemos realizar infinidad de construcciones con puntos, segmentos, rectas, funciones, etc. Con la entrada «Geometría y álgebra en tu bolsillo» comentaba la versión portable de este programa, para llevarlo siempre en nuestro pendrive.

Los primeros apuntes de Geometría 2D fueron en forma de presentación, publicados en «Recursos de geometría: el Teorema de Pitágoras». En el artículo comparto algunos recursos -apuntes y ejercicios- publicados en una wiki diseñada para ello Continuar leyendo «Geometría 2D: el resumen»

El número Pi: área de figuras planas con Geogebra (II)

Traigo la segunda parte del tema de cálculo de áreas y perímetro de figuras planas, concretamente todas aquellas que involucran el número Pi en sus fórmulas.

Si esta semana te has propuesto resolver el desafío matemático de Los Arqueros, debes saber que la clave está en utilizar alguna de las fórmulas que presento hoy.

En la primera entrega publicaba una presentación resumiendo el cálculo de áreas como el rombo, trapecio, romboide, rectángulo, etc. y compartía en una wiki todas las figuras diseñadas con GeoGebra (archivos .ggb). Publico esta segunda parte utilizando el mismo formato y compartiendo todo el material Continuar leyendo «El número Pi: área de figuras planas con Geogebra (II)»

Geometría: la estrella

La geometría es probablemente la parte de las matemáticas donde más fácil resulta aplicar las TIC, sobre todo porque podemos verlas bien en 2 o 3 dimensiones. Es quizá por este motivo que incluso comprobar soluciones a problemas matemáticos puede resultar hasta entretenido.

Ya he hablado en este blog sobre GeoGebra, un software educativo para el área de matemáticas, diseñado para trabajar con álgebra y geometría. Podemos utilizarlo para muchos propósitos, entre ellos, como digo, plantear algunos ejercicios de geometría para comprobar el resultado y de paso comprender aún mejor el desarrollo de la solución. «Ver» el problema siempre ayuda.

En esta ocasión propongo el problema de calcular el área de una estrella, como la que muestra la figura. El primer reto está claro: trabajar un buen rato con GeoGebra para dibujar la figura.

Por facilitar la construcción de la figura, podemos suponer que la estrella es la combinación de varios polígonos: 1 hexágono (el centro de la estrella) y 6 triángulos, suponemos que equiláteros. El lado del hexágono (y por tanto del triángulo) es 3.

GeoGebra permite calcular el área de cualquier polígono que dibujemos sobre el plano, de modo que el cálculo del área total de la estrella será la suma de las áreas de las distintas figuras planas que la componen. Lo ideal es realizar también los cálculos a mano, sobre papel, para posteriormente comprobar la solución utilizando el programa. Dejo esta presentación donde se desarrollan todos los cálculos utilizando las fórmulas correspondientes.

[issuu viewmode=presentation layout=http%3A%2F%2Fskin.issuu.com%2Fv%2Flight%2Flayout.xml showflipbtn=true documentid=101103200834-7e67c648f5904d7daaef5b140d1d4dd8 docname=geogebra-estrella username=ebenimeli loadinginfotext=La%20estrella showhtmllink=true tag=maths width=450 height=337 unit=px]

Si después de realizar el ejercicio tus cálculos no coinciden, probablemente no sea por algún error en las operaciones a mano, sino por alguno que hayas cometido dibujando la figura (recuerda que los triángulos deben ser equiláteros). En este screencast puedes ver cómo se dibuja correctamente la estrella con GeoGebra.

Enlaces: GeoGebra | Desarrollo del problema | Screencast: Dibujo de la Estrella

Recursos de geometría: el Teorema de Pitágoras

Con esta entrada sobre geometría estreno sección de recursos en este blog. Antes de empezar el curso, dediqué varias entradas a aspectos de organización personal. Sin embargo, comentaba en la presentación de este blog que utilizaría también esta plataforma para compartir algunos de los materiales educativos que preparo o que voy descubriendo en otros blogs. Empezamos con algunos de geometría.

Además de publicar los recursos en este blog, utilizar una wiki para reunirlos todos es bastante práctico. De momento he creado una sección sobre Educación donde enlazo el resto de materiales. En la sección de Geometría puedes encontrar algunos ejemplos de objetos geométricos creados con GeoGebra, un programa para álgebra y geometría (Teorema de Pitágoras, Recta de Euler, simetrías, derivadas, etc.) y también algunos ejercicios propuestos para realizar con este software.

La semana pasada empecé a organizar algunas presentaciones en Issuu, un servicio de publicación de documentos en Internet. Os dejo una primera presentación que iré ampliando con otras y que sirve para repasar el Teorema de Pitágoras.

[issuu viewmode=presentation layout=http%3A%2F%2Fskin.issuu.com%2Fv%2Flight%2Flayout.xml showflipbtn=true autoflip=true autofliptime=6000 documentid=101002111549-bf490d7050e146a584015e01f99dae03 docname=clase-01-geometria username=ebenimeli loadinginfotext=Geometr%C3%ADa%20(I) showhtmllink=true tag=pitagoras width=450 height=346 unit=px]

Enlaces: Wiki con Recursos Educativos | Sección de Geometría | GeoGebra

Geometría y álgebra en tu bolsillo

En julio presenté GeoGebra, un software para matemáticas pensado principalmente para ser utilizado en el ámbito educativo. Se trata de un procesador geométrico y algebraico con el que se pueden realizar infinidad de construcciones con puntos, segmentos, líneas, funciones, etc.

A través del enlace de descarga de GeoGebra podemos obtener y utilizar el programa de dos formas: la primera mediante una instalación en nuestro ordenador (Webstart) y la segunda opción es utilizar un Applet, que no requerirá instalación alguna en nuestro ordenador y para que la sólo necesitaremos abrir un navegador web.

Esta mañana me ha llegado un enlace a una sección de la web de GeoGebra donde descargar una aplicación portátil de GeoGebra.

Una aplicación portátil o más conocido como «portable» es una aplicación informática que puede ser utilizada en cualquier ordenador que posea el sistema operativo para el que fue programada sin instalación previa; esto significa que no es necesaria la instalación de bibliotecas adicionales en el sistema para su funcionamiento.

Existen versiones de este programa portátil (en otros sitios traducido como aplicación portable) para Windows, Mac y Linux. Así que si quieres llevar tu GeoGebra siempre contigo a clase, ya puedes descargarlo y guardarlo en tu lápiz USB.

Enlaces: GeoGebra Portable | GeoGebra.org | Sobre Aplicaciones Portátiles en Wikipedia

Matemáticas interactivas con GeoGebra

GeoGebra es un software educativo para matemáticas diseñado principalmente para ser utilizado en colegios y universidades. Es básicamente un procesador geométrico y algebraico con el que podemos realizar infinidad de construcciones con puntos, segmentos, líneas, funciones, etc., simplemente utilizando el ratón y el teclado.

El programa reúne todas las características para ser aplicado en las áreas de geometría, álgebra y cálculo, aunque GeoGebra demuestra todo su potencial como software de geometría dinámica. En 2009 recibió la Distinción en Tecnología en los Tech Awards.

Todos los elementos geométricos en GeoGebra se pueden modificar de forma dinámica. Por ejemplo, si queremos visualizar gráficamente el Teorema de Pitágoras podemos hacerlo fácilmente construyendo con GeoGebra un triángulo rectángulo y 3 cuadrados como muestra la imagen, para comprobar que la suma del área de los dos cuadrados menores, es igual al área del cuadrado mayor (o como otros recordarán, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos ). Puedes hacer clic sobre la imagen para poder ver esta construcción funcionar de forma dinámica.

Los programas como GeoGebra que permiten observar las matemáticas de una forma dinámica son de gran utilidad para facilitar la comprensión de determinados conceptos que. desarrollados de una forma tradicional sobre pizarra, requieren  demasiados pasos que en ocasiones pueden resultar difíciles de seguir.

Imaginemos la explicación de «derivada de una función en un punto». La mayoría de nosotros, en algún momento como estudiantes, hemos asistido en clase a la explicación del concepto de derivada, que con mayor o menor éxito, hemos logrado comprender. Sin embargo, quizá nos habría ido mucho mejor si la explicación hubiera venido acompañada de una representación dinámica como esta (haz click sobre la imagen para trabajar con la representación de forma dinámica).

GeoGebra es un software fácil de instalar y de usar, por profesores y alumnos. Para empezar a trabajar con él tan solo es necesario tener instalado Java en nuestro ordenador y existen dos formas de ejecutar el programa: vía web con un Applet Java (pequeña aplicación Java que se ve en el navegador) o descargando el programa, que nos permitirá seguir usándolo cuando no estemos conectados a Internet.

El curso pasado tuve la oportunidad de poner en práctica el uso de GeoGebra con algunos alumnos en el aula de informática y el resultado fue bastante satisfactorio. Puedes encontrar algunos ejemplos y ejercicios propuestos en una wiki que abrí para publicar este tipo de contenidos. (ya no existe tal wiki).

Enlaces: GeoGebra | Descargar GeoGebra | Manual Oficial (PDF) | Derivada de una función en un punto