Geometría y hoja de cálculo: del lenguaje matemático al informático

Durante el curso 2010/2011 compartí una serie de materiales sobre Hoja de Cálculo, concretamente 4 fichas de teoría con ejemplos sobre (I) el entorno de OpenOffice Calc y operaciones básicas, (II) sobre el uso de funciones, (III) sobre la reutilización de fórmulas, y (IV) sobre la toma de decisiones utilizando la funciones condicionales y operadores lógicos.

También publiqué varias entradas con materiales y ejercicios de geometría, en particular sobre áreas de figuras planas. En la mayoría de ellas hacía referencia al programa GeoGebra, como en la actividad de «La estrella».

Este año combino los dos temas para proponer una primera actividad de hoja de cálculo. Con el objetivo de practicar las operaciones básicas con hoja de cálculo, he preparado un ejercicio que consiste en transformar fórmulas de cálculo de áreas de figuras planas de lenguaje matemático a lenguaje informático de una hoja de cálculo.

Las fórmulas de geometría plana contienen todos los tipos de operadores básicos (suma, resta, multipliación, división y potencia) que conviene conocer en una hoja de cálculo. Y además de repasar las fórmulas reales, transformar funciones de un lenguaje puramente matemático a otro lenguaje con otra sintaxis, permite revisar conceptos como el uso de los paréntesis o las reglas de precedencia de operadores.

Imagen | Basada en la fotografía de Claus Rebler
Actividad | Geometría con Hoja de Cálculo (PDF)
En Tiching | Geometría con Hoja de Cálculo

El pastel de la abuela: un reto geométrico

Hasta ahora os he retado con una apuesta de cafetería y un juego de cartas con reyes, reinas, corazones y picas. Este fin de semana propongo resolver el tercero de los enigmas del Concurso de Desafíos Matemáticos de este curso 2011-2011.

Un reto geométrico dice así:

La abuela ha preparado un delicioso pastel (circular, como el de la fotografía) para repartir entre todos sus nietos. Lo divide en varios trozos haciendo seis cortes rectos. Cada uno de los cortes se cruza con los cinco cortes restantes. Además, en cada intersección, sólo se cruzan dos líneas, y el reparto de trozos hace que la abuela pueda repartir pastel entre todos sus nietos, con porciones de varios tamaños y formas.

¿Cómo está dividido el pastel?

Documentos | Desafío #3: El pastel de la abuela (PDF) | Publicado en Issuu
Foto | Moist Chocolate Cake de Chocolate-Dessert-Recipes.com
En Tiching | El pastel de la abuela: un reto geométrico
Desafío #1 | Apuestas de cafetería
Desafío #2 | Reyes, reinas, corazones y picas

Compartiendo mis apuntes en la Red: Creative Commons

Los contenidos del blog que estás leyendo ahora mismo se publican bajo una licencia libre, concretamente Creative Commons BY-NC-SA 3.0. Esto quiere decir que cualquiera es libre de copiar, distribuir y comunicar públicamente esta obra, con una serie de condiciones:

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Los artículos de este blog y otros documentos que voy elaborando puedes encontrarlos circulando libremente por Internet. Probablemente no todo el mundo entienda esta forma de actuar; sé que hay muchos que tienen sus reservas. Escucho continuamente argumentos como: «Con el trabajo que me ha costado, ¿cómo lo voy a dejar «gratis» en Internet?». Yo suelo contestar que, precisamente porque ha costado varias horas de trabajo y es un buen resultado, merece la pena que circule libremente por la Red. Quizá sean puntos de vista diferentes. Yo, sin embargo, cada día tengo más claro aquello de que el conocimiento debe ser libre. Llevamos algo más de un mes de clase, estudiando geometría. Si tuviéramos que pagar a Pitágoras por cada vez que usamos su Teorema… O, desde otro punto de vista, ¿qué derecho tenemos a tomar un conocimiento que es abierto y universal (cualquier fórmula conocida), hacer una obra derivada (cualquier de nuestros ejercicios que preparamos) e intentar luego «cerrarla» o no querer compartirla? Vuelvo a decir: puntos de vista distintos.

El blog Xarxa TIC publica siempre intersante reflexiones sobre la creación y uso de materiales educativos y licencias libres. Recomiendo pasarse por allí y buscar sobre el tema.

Suelo recopilar mis documentos en Issuu, un servicio de publicación bastante práctico. Así va quedando mi «biblioteca» de materiales virtual.

Si hacía unos días compartía algo de material sobre fórmulas de geometría, hoy traigo algunos ejercicios que bien podrían ser un modelo de examen.

Documentos | Ejercicios de geometría
Enlaces | Mi biblioteca de documentos en Issuu | Licencias Creative Commons

Descubriendo nuevas fórmulas

El álgebra elemental es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la aritmética, en donde sólo se usan los números y sus operaciones aritméticas (como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son representados por símbolos (usualmente a, b, c, x, y, z).

A estos símbolos los llamamos variables. En el álgebra elemental, una expresión puede contener números, variables y operaciones aritméticas, y es fundamental saber transformar estas expresiones para aprender a descubrir nuevas fórmulas.

Por ejemplo, para calcular la hipotenusa o alguno de los catetos de un triángulo rectángulo, no necesitamos memorizar cada una de las fórmulas (o no deberíamos), sino que partimos del Teorema de Pitágoras, para obtener las otras tres expresiones. Y utilizaremos cada una de ellas dependiendo de los datos que tengamos.

En un problema de áreas, no siempre se pide calcular el área de la figura para aplicar la fórmula directamente. Por ejemplo, para un triángulo, podrían darnos el valor del área y altura, para poder calcular su base. De estar forma, es posible transformar la fórmula original en una nueva.

Sobre este tema, dejo publicado (bajo licencia Creative Commons) un documento de 4 páginas con ejemplos de transformaciones de algunas fórmulas de geometría de áreas planas.

Documentos | Descubriendo fórmulas (PDF, 4 páginas) | publicado en Issuu
Imagen | Math Wall de João Trindade en Flickr

Fotografía y matemáticas: los misteriosos números f

Cuando uno se mete de lleno en el mundo de la fotografía, deja de lado el «modo automático» de la cámara para empezar a manejar de forma manual todos los parámetros de la cámara, como son velocidad de obturación y abertura del diafragma.

Para este último necesitamos conocer una sucesión de números f/ que aparecen en la cámara: la sucesión 1, 1.4, 2.8, 4, 5.6, 8, 11, 16, 22, … Pero, ¿por qué esa y no otra? La «raíz de 2» (por cierto, número irracional) tiene la culpa.

El diafragma de una cámara de fotos

El diafragma es la parte de la cámara compuesta de un sistema de láminas finas que permite graduar la cantidad de luz que entra. Cuando pulsamos el disparador para hacer una foto, las láminas se cierran en el momento de la exposición formando un “agujero” por el que pasa la luz.

En combinación con la velocidad de obturación, el tamaño de abertura del diafragma se puede ajustar en pasos discretos. El tamaño del agujero por el que pasa la luz lo indica el valor f/ de las cámaras.

Los números f/

En las cámaras de fotos podemos establecer el parámetro f/ de forma manual. La abertura es un valor que resulta de dividir la longitud focal f por el diámetro de la pupila de entrada D. Por ejemplo, f/16 se corresponde con un diámetro de pupila de entrada D, que es 16 veces menor que la longitud focal de la lente.

Encontramos la misma sucesión de números f/ en todas las cámaras de fotos: f/1, f/1.4, f/2.8, f/4, f/5.6, f/8, f/11, f/16, f/22, … Pero, ¿por qué exactamente estos números? Si al incrementar en un paso el número f/ obtenemos el doble de área, ¿por qué no utilizar un parámetro como x2, x3, x4, …? ¿De dónde viene entonces el valor del número f/ ?

La explicación, lógicamente, es matemática y podéis ver los detalles en el siguiente documento.

Las matemáticas del número f/ de las cámaras

El documento incluye el texto de esta entrada y la formulación necesaria para comprender la procedencia de la serie numérica.

Resumiendo mucho, la explicación matemática viene a decir que si queremos incrementar el área de un círculo en el doble, su radio debe incrementar «raíz de 2».

Aplicación del número f/

Con la abertura de la lente podemos conseguir el efecto de desenfocar alguna zona de la foto.

En la fotografía la abertura del diafragma corresponde a un valor f/5.6.

Documentos | Fotografía y matemáticas
Enlaces | Sobre el diafragma, la abertura y los números f en Wikipedia
Fotografía | Ejemplo de enfoque selectivo

Desafíos Matemáticos #7: Prueba Final

Con el séptimo desafío matemático, esta vez doble, llegamos a la última de las pruebas del concurso de problemas matemáticos y de lógica que he venido proponiendo estas últimas semanas.

Desafío A

Tenemos un triángulo isósceles con base de 10 cm y dos lados de 13 cm. ¿Cómo obtener otro triángulo isósceles con la misma área, pero cuya base sea distinta?

La forma más interesante de plantear este primer problema sería intentar resolverlo sin realizar ningún cálculo matemático, solamente explicando qué hacer con el triángulo para obtener el que pide el enunciado.

Desafío B

Encuentra un número de 3 dígitos que sea igual a las suma de los cubos de sus dígitos. Es decir:

xyz = x3+y3+z3

¡A pensar… y suerte!

Solución al Desafío #6

En el sexto problema – «El Quinto Elemento» – os proponía seguir la serie:

X1, 1X11, 111X21, 311X1211, …

En este caso particular, no era necesario ninguna fórmula para hallar el siguiente elemento. Se trataba simplemente de «leer» el elemento anterior.

El primer elemento es «X1», por lo que «leemos» que hay una X y un 1, y lo escribimos de la siguiente forma: «1X11». En este último elemento hay un 1, una X y dos 1, y lo escribimos: «111X21», y así sucesivamente. Por tanto, para obtener el quinto elemento, leemos el elemento anterior, «311X1211», donde hay un 3, dos 1, una X, un 1, un 2 y dos 1, y lo escribimos como «13211X111221«. Este es el elemento que buscamos.

Enlaces: Desafío #1 | Desafío #2 | Desafío #3 | Desafío #4 | Desafío #5 | Desafío #6

Desafíos Matemáticos #6: El Quinto Elemento

Y con El Quinto Elemento llegamos al penúltimo de los problemas de la I Edición del Concurso de Desafíos Matemáticos. Uno de los enigmas típicos son los de secuencias o progresiones, en las que hay que realizar algún cálculo sobre el elemento anterior para obtener el siguiente, o en las que hay que observar las posiciones de letras y números en cada elemento para intentar deducir el siguiente. En esta ocasión se trata de una secuencia de letras y números que hay que intentar continuar.

El problema dice así:

En la Agencia Superior de Inteligencia, los espías se comunican con su equipo mediante enigmas matemáticos. Para una de las misiones, se entrega a uno de los espías la siguiente lista de códigos:

X1, 1X11, 111X21, 311X1211, …

El espía deberá averiguar el elemento que sigue en la lista, que será el código de acceso para poder terminar con éxito su misión.

El desafío consiste en averiguar el quinto elemento antes que el espía enemigo.

Y a continuación comento la solución al Desafío #5 de la semana pasada: «Los 5 rectángulos». En él planteaba el problema de construir un cuadrado de dimensiones 11×11 con 5 rectángulos. Para construir dichos rectángulos había que tomar parejas de lados de la lista: 1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (sólo una vez cada lado).

Una de las soluciones es colocar convenientemente rectángulos de dimensiones: 1×6, 2×10, 3×9, 4×7 y 5×8, como muestra la figura.

Enlaces: Desafío #1 | Desafío #2 | Desafío #3 | Desafío #4 | Desafío #5

Chuleta de fórmulas: área y perímetro de figuras planas

No quería terminar la semana sin antes dejar este documento en forma de chuleta de fórmulas de geometría 2D. Ayer presentaba un resumen de todo lo publicado hasta el momento sobre áreas y perímetros de figuras planas. Con este último documento cierro la primera serie de recursos sobre el tema.

Dejo también el enlace a la colección de documentos en Issuu Continuar leyendo «Chuleta de fórmulas: área y perímetro de figuras planas»

Geometría 2D: el resumen

Después de escribir varias entradas con recursos de geometría, creo que es momento de presentar en forma de resumen lo publicado hasta el momento. Pretendo con ello reunir todos los apuntes sobre geometría de figuras planas elaborados hasta ahora.

Con «Matemáticas interactivas con GeoGebra» presentaba en primer lugar este software educativo para matemáticas diseñado principalmente para ser utilizado en colegios y universidades. Es un procesador geométrico y algebraico con el que podemos realizar infinidad de construcciones con puntos, segmentos, rectas, funciones, etc. Con la entrada «Geometría y álgebra en tu bolsillo» comentaba la versión portable de este programa, para llevarlo siempre en nuestro pendrive.

Los primeros apuntes de Geometría 2D fueron en forma de presentación, publicados en «Recursos de geometría: el Teorema de Pitágoras». En el artículo comparto algunos recursos -apuntes y ejercicios- publicados en una wiki diseñada para ello Continuar leyendo «Geometría 2D: el resumen»

El número Pi: área de figuras planas con Geogebra (II)

Traigo la segunda parte del tema de cálculo de áreas y perímetro de figuras planas, concretamente todas aquellas que involucran el número Pi en sus fórmulas.

Si esta semana te has propuesto resolver el desafío matemático de Los Arqueros, debes saber que la clave está en utilizar alguna de las fórmulas que presento hoy.

En la primera entrega publicaba una presentación resumiendo el cálculo de áreas como el rombo, trapecio, romboide, rectángulo, etc. y compartía en una wiki todas las figuras diseñadas con GeoGebra (archivos .ggb). Publico esta segunda parte utilizando el mismo formato y compartiendo todo el material Continuar leyendo «El número Pi: área de figuras planas con Geogebra (II)»