Experimento en redes sociales: la paradoja del cumpleaños

Lanzo la siguiente pregunta:

¿Cuál creéis que es la probabilidad de que al menos 2 personas de un grupo de 23 cumplan años el mismo día y mes?

Si nos apresuramos en responder a la pregunta, quizá la primera suposición será que es muy improbable que dos fechas coincidan. Como en el problema de las tres puertas que ya expliqué, la intuición nos puede engañar en este caso también.

La «paradoja»

De una forma sorprendente para algunos, la probabilidad de que 2 personas de un grupo de 23 cumplan años el mismo día y mes es de más del 50%. Es más, el mismo planteamiento para un grupo de 60 personas o más da un resultado del 100% de probabilidad. Pero… ¿cómo puede ser?

Se trata de la llamada «paradoja del cumpleaños», que por cierto no es paradoja, porque no es una contradicción lógica. Sencillamente, los resultados van en contra de lo que nuestra intuición podría suponer, pero los podemos comprobar matemáticamente. Pero antes de detallar los cálculos propongo un experimento.

El experimento

Os propongo visitar vuestro perfil en cualquiera de las redes sociales en las que habitualmente publicáis y participáis. Esta vez, sin embargo, el propósito es otro distinto. Si lo hacéis en Facebook, donde probablemente tenéis varias decenas de amigos, consultad la sección de eventos, concretamente la de cumpleaños. Allí encontraréis la lista completa de fechas de cumpleaños de vuestros contactos, agrupadas por meses.

El experimento es simple: comprueba cuántas personas (o grupos de personas) comparten fecha de cumpleaños.

En mi caso, en Facebook tengo un total de 184 amigos. He encontrado 25 pares de contactos que comparten fecha de cumpleaños (+1 grupo de 3 personas que también nacieron el mismo día y mes). Es decir, casi el 30% de mis contactos comparten fecha de cumpleaños con alguien. ¿Increíble, no?

Si también has contado los amigos cuya fecha de cumpleaños coincide, introduce por favor los datos en el siguiente formulario. Me servirá para hacer un pequeño estudio, de los de «andar por casa».

Y para los más curiosos, aquí tenéis la explicación matemática

¿Cómo calcular la probabilidad?

Pensemos que queremos calcular la probabilidad del suceso «que 2 fechas de cumpleaños coincidan». Sin embargo, lo más práctico para este problema es calcular el suceso contrario: «que 2 fechas de cumpleaños no coincidan».

Para ello utilizamos la Regla de Laplace de probabilidad, que dice que la probabilidad de un suceso S es:

Lógicamente tendremos que analizar por separado los casos posibles y los casos favorables.

Casos posibles

Para calcular el número de combinaciones posibles de fechas de cumpleaños de 2 personas (A y B), basta con multiplicar 365 dos veces. Imaginemos un instante ejemplos de combinaciones, para hacernos una idea que hay «unas cuantas»:

  • A cumple el 1 de enero y B el 1 de enero
  • A el 1 de enero y B el 2 de enero
  • A el 1 de enero y B el 3 de enero,
  • …,
  • A el 2 de enero y B el 1 de enero,
  • A el 2 de enero y B el 2 de enero,
  • Y así todas los posibles pares hasta llegar a la combinación.

  • A el 31 de diciembre y B el 31 de diciembre.

El número total de combinaciones para 2 personas es 365·365 o 365^2

El número total de combinaciones de cumpleaños para n personas es 365^n (365 elevado a n)

Casos favorables

Para calcular el número de casos favorables, esto es, número de combinaciones de fechas que no coincidan (recordemos que estamos calculando el suceso «no hay dos personas que cumplan el mismo día y mes»), podríamos proceder de la siguiente forma:

Elegimos a una primera persona, A, que puede cumplir cualquiera de los 365 días. La probabilidad de que una segunda persona B coincidiera en fecha sería de 1/365. Por tanto, la probabilidad de que no coincida es de 364/365. Si tomamos una tercera persona C, la probabilidad de que coincida con A o B es de 2/365. Y por tanto, la probabilidad de que C no coincida con A o B es de 363/365. Si procedemos del mismo modo con el resto de personas del grupo, estaremos calculando la probabilidad de cada suceso «que la fecha de la persona X no coincida con ninguna de las otras».

Bien, al tratarse de sucesos independientes, para calcular la probabilidad de que ocurran todos, bastaría con multiplicar cada una de las probabilidades de la siguiente forma:

Que podríamos unificar en una sola expresión utilizando la siguiente fórmula:

Os dejo la comprobación de la fórmula para el caso de 5 personas (n=5).

Con esta «sencilla» fórmula podríamos elaborar una gráfica representando la probabilidad de coincidencia de 2 fechas de cumpleaños en función del número de personas del grupo, en la que podemos comprobar que para 23 personas la probabilidad de que dos de ellas hayan nacido el mismo día supera el 50%. Para 60 personas o más, asciende hasta casi el 100%.

Sobre la Paradoja del Cumpleaños en: Wikipedia | Gaussianos

La intuición nos puede engañar, las matemáticas no

Un conocido problema matemático sobre probabilidad es el de Monty Hall, inspirado en el concurso televisivo estadounidense Let’s Make a Deal. En el concurso, el presentador muestra tres puertas. En una de ellas puede haber un coche como premio; en las otras dos: una cabra.

El concursante elige al inicio una de las puertas. A continuación, el presentador decide abrir otra de las puertas para mostrarle que tras ella, se esconde una cabra. Es entonces cuando se da la opción al concursante de quedarse con la puerta que había elegido inicialmente, o por lo contrario, cambiar de puerta.

Si tras la elección del concursante, el presentador muestra que en una de las puertas (supongamos C) hay una cabra, en las otras dos (A y B) están la cabra y el coche. No sabemos si la cabra en A y el coche en B, o si la cabra en B y el coche en A. En cualquier caso, quedan dos puertas, por lo que podemos pensar que la probabilidad de ganar el coche es del 50%. Da igual si el concursante se queda con la puerta elegida inicialmente o si decide cambiar de puerta. ¿O no…?

Bien, esto sólo es lo que nos dice la intución, que en esta ocasión nos engaña. De hecho, si el concursante cambia de puerta, matemáticamente las probabilidades de ganar son del 66%.

La explicación es la siguiente:

Si el concursante decide quedarse con la puerta elegida inicialmente, la probabilidad de haber acertado es de 1 sobre 3, es decir, de un 33%. No importa el hecho de que el presentador haya mostrado que en una de las puertas hay una cabra. El concursante ha decidido quedarse con su primera elección, y eso es en cualquier caso sigue siendo una opción entre tres posibles.

Sin embargo, si el concursante decide cambiar de puerta, puede haber 3 situaciones:

– Primer caso. El concursante había elegido la puerta que escondía el coche, y sin embargo, el cambiar, elegirá necesariamente la segunda de las cabras que queda por descubrir (la primera la mostró el presentador).

– Segundo caso. El concursante había elegido la puerta que esconde la primera cabra, por lo que al cambiar elige con total seguridad la puerta que esconde el coche (no olvidemos que antes de cambiar el presentador muestra una puerta con una cabra).

– Tercer caso. El concursante había elegido la puerta que esconde la segunda cabra, por lo que al cambiar elige como en segundo caso y con total seguridad la puerta que esconde el coche (no olvidemos que antes de cambiar el presentador muestra una puerta con una cabra).

De los 3 casos, uno supone perder y dos ganar, por lo que la probabilidad de ganar si cambiamos de puerta es del 66% (2/3), el doble que si el concursante decide no cambiar de puerta.

Si la explicación argumentada por escrito todavía no resuelve tus dudas, quizá esta escena de la serie Numbers te ayude a entender el problema.