Un mundo (digital) de unos y ceros

La informática son unos y ceros. Esta es la frase que repiten una y otra vez quienes intentan (no siempre con éxito) explicar el funcionamiento interno de cualquier dispositivo electrónico digital.

En la era digital, utilizamos cómodamente un procesador de textos para escribir documentos, editamos nuestras fotografías desde nuestro smartphone para luego publicarlas en redes sociales, realizamos búsquedas de información en Internet, enviamos mensajes de texto o de voz a los móviles de nuestros amigos, etc. Y resulta que todo esto sucede apenas sin esfuerzo por nuestra parte, sin pensar en números y sin hacer ningún cálculo matemático. Damos por hecho que funcionará, como si de magia se tratara.

Y hay que reconocer que algo de mágico tiene el proceso. Cuesta creer que cuando enviamos un mensaje por correo electrónico desde nuestro ordenador, por ejemplo desde algún país de Europa con destino al continente americano, realmente estamos enviando fragmentos de ese mensaje codificados de forma binaria (tiras de ceros y unos al fin y al cabo), y que una vez alcanzado el destinatario, el mensaje se volverá a recomponer para que el receptor pueda leerlo correctamente. Y todo ese viaje de unos y ceros tiene lugar en apenas unos milisegundos y a través de cables transoceánicos que conectan los continentes. Claro, en mi primer intento por explicar como viaja la información digital a través de Internet, mis alumnos no creen lo que cuento, hasta que hago un pequeño experimento de transmisión de datos y muestro un par de fotografías de técnicos submarinistas arreglando los cables por debajo del mar. Ahí empiezan a dar credibilidad a la historia. Aunque siempre hay algún escéptico.

Por mencionar solo algunos ejemplos, son objetivos en la Educación Secundaria comprender los conceptos de informática, de procesamiento de la información digital, el funcionamiento básico del hardware y el software, las formas de conexión y comunicación entre dispositivos o las unidades de medida de la capacidad de almacenamiento digital. Si se trata de explicar tamaños de archivo, aparecen unidades como el megabyte, gigabyte o terabyte. Si hablamos de velocidad de transmisión de datos, aparecen medidas como Mbps (Megabits por segundo). Y un alumno debe conocer y comprender estos conceptos y sus diferencias, entre otros motivos para poder explicar qué significa aquello de “no me quedan datos” o “Internet me va lento en mi móvil». Bits, ceros, unos: de eso va el asunto.

El sistema binario se introduce mejor en clase cuando se compara con el sistema decimal (el que llevan los alumnos aprendiendo toda su vida en matemáticas). Al principio, basta con que comprendan que se puede realizar una conversión del sistema binario al decimal, y viceversa. Más tarde, en cursos posteriores, irán descubriendo aplicaciones del código de unos y ceros (en redes de ordenadores, codificación de colores, etc.).

Comparto en este artículo un par de vídeos que utilizo en el aula para explicar el proceso de conversión. Ambos pertenecen a un archivo de presentación de la unidad didáctica, en el que hay animaciones en una misma diapositiva que explican el mecanismo paso a paso. Básicamente he convertido las animaciones a formato vídeo.

Recomiendo echar un vistazo también al vídeo de Eduardo Sáenz de Cabezón (@edusadeci) en Derivando, explicando el código binario.

Y no podía faltar el popular «chiste»:

«Hay 10 tipos de personas: las que saben binario y las que no»

Fotografía | «Binary code» de Christiaan Colen en Flickr
Video #1 | «Binary to Decimal» de Enrique Benimeli en Vimeo
Video #2 | «Decimal to Binary» de Enrique Benimeli en Vimeo
Vídeo #3 | «El código binario | Explicación» de Derivando en YouTube

Arte y matemáticas: números escondidos en el Partenón, la Mona Lisa y la manzana de Apple

Contaba no hace mucho cómo las matemáticas están presentes en la naturaleza, mucho más de lo que imaginamos. Formas, patrones, proporciones; infinidad de elementos surgidos de forma completamente natural que siguen un orden matemático y que son verdaderas demostraciones de belleza.

Identidad de Euler

Siempre que se habla de belleza matemática aparece la famosa «identidad de Euler». Esta conocida fórmula del matemático más importante del siglo XVIII, está considerada la más bella de la historia por relacionar cinco números muy utilizados en la historia de las matemáticas y que además pertenecen a distintas ramas de la misma.

También las matemáticas estén presentes en diferentes expresiones artísticas. Podemos encontrar referencias matemáticas en muchas obras pictóricas y arquitectónicas. En este caso han sido los propios artistas los que desde hace siglos han considerado símbolo de belleza utilizar determinadas proporciones u organizar los elementos que componen la obra siguiendo un orden matemático. Este es el caso de obras como «La Mona Lisa» de Leonardo Da Vinci o «Las Meninas» de Velázquez. Ambas obras esconden el «número áureo», también llamado «divina propoción». Pero incluso diseños más recientes como los utilizados por la empresa de informática Apple, utilizan también este «mágico» número, por ejemplo en las proporciones del logotipo de iCloud.

¿Por qué es tan especial el «número áureo»?

En 300 a.C., Euclides, el padre de la geometría, descubre una proporción divina que rige todas las cosas bellas: el número áureo, representado por la letra griega φ (fi), en honor al escultor griego Fidias, que utilizaba este valor estético en sus esculturas.

El número áureo es un número irracional.

1.61803398874989484820458683436563811772030917980576286 2135448622705260462818902449707207204189391137484754088 0753868917521266338622235369317931800607667263544333890 8659593958290563832266131992829026788067520…

¿Cómo se puede obtener el número de oro?

El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b que cumplen una determinada relación: la longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más corto b.

Aunque probablemente, la forma más curiosa de hallar una aproximación del mágico número áureo es a partir de la sucesión de Fibonacci (de la que ya hablé en el artículo «Huracanes, conejos y piñas: matemáticas en la naturaleza y cómo calcular la sucesión de Fibonacci»). Se trataría de realizar una sencilla operación sobre pares de número consecutivos en la sucesión de Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17111, 28657, 46638, … Por ejemplo, utilizando el siguiente programa en lenguaje Java genera los números de la sucesión de Fibonacci:

Programa Java que cálcula la sucesión de Fibonacci y el número áureo

vamos calculando también en casa paso el cociente entre un valor y el anterior (3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, …). Observaremos que el valor de la división se va aproximando cada vez más al número áureo: 1.61803398874989484820458…

Salida del programa Java que cálculo la sucesión de Fibonacci y la aproximación al número áureo.

A partir de la evolución de un rectángulo dorado, que posee una proporcionalidad entre sus lados igual a la razón aúrea, podemos construir una espiral áurea, como las que aparecen «escondidas» en muchas obras de arte.

El número áureo en la arquitectura

El número áureo está presente en el diseño de la construcción del Partenón de Atenas. Si tomamos algunas medidas, podremos comprobar que la base frontal es la altura multiplicada por el número áureo (1,61803398). Y si estudiamos otros elementos de la construcción, la divina proporción vuelve a aparecer.

El número áureo en la pintura

En una de las obras de de Leonardo Da Vinci podemos encontrar una espiral áurea, delimitando las proporciones de «La Mona Lisa».

También en la famosa obra de Velázquez, «Las Meninas», aparecen varias referencias matemáticas, como por ejemplo los tres triángulos isósceles que marcan la posición de «las meninas», y también la espiral dorada.

La presencia de la espiral tiene una clara intención dentro del cuadro del pintor español:

Velázquez, en la composición áurea de su cuadro Las Meninas, lo ordena con la mencionada espiral, cuyo centro está situado sobre el pecho de la infanta Margarita, marcando con ello el centro visual de máximo interés y el significado simbólico del lugar reservado para los escogidos, como era tradición en Europa, que el monarca ocupara el lugar central y de privilegio en las ceremonias. No hay que olvidar que en el momento de la creación de la pintura, la infanta Margarita era la persona más indicada como sucesora al trono, ya que Felipe IV no tenía en ese momento ningún hijo varón.

La divina proporción en diseños modernos

Como comenta el blog Fotomat sobre fotografía y matemáticas, el logotipo de iCloud de Apple utiliza las proporciones áureas también. Pero no queda ahí la obsesión de los de Apple por la perfección. Indagando un poco más sobre tema, podéis descubrir que la famosa manzana utiliza proporciones extraídas de la sucesión de Fibonacci. Increíble.

«Los números son bellos» del programa tres14

Para comprender mejor toda la relación entre arte y matemáticas, recomiendo este reportaje del programa tres14, «Los números son bellos», en el que entrevistan a cuatro matemáticos. A todos ellos se les plantea la siguiente pregunta: «¿Qué tienen en común arte y matemáticas?». Francisco Martín Casalderrey y Capi Corrales hablan sobre mirar el arte con ojos matemáticos, Fernando Corbalán, sobre la divina proporción y Sebastià Xambó y Antonio J. Durán, sobre el arte en las matemáticas, su poesía y su belleza.

Reportaje «Los números son bellos» del programa tres14 de La2 de RTVE

Programa Java en rextester.com | Cálculo del número áureo
La2 de rtve.es | tres14 – Los números son bellos

Desafíos Matemáticos #7: Prueba Final

Con el séptimo desafío matemático, esta vez doble, llegamos a la última de las pruebas del concurso de problemas matemáticos y de lógica que he venido proponiendo estas últimas semanas.

Desafío A

Tenemos un triángulo isósceles con base de 10 cm y dos lados de 13 cm. ¿Cómo obtener otro triángulo isósceles con la misma área, pero cuya base sea distinta?

La forma más interesante de plantear este primer problema sería intentar resolverlo sin realizar ningún cálculo matemático, solamente explicando qué hacer con el triángulo para obtener el que pide el enunciado.

Desafío B

Encuentra un número de 3 dígitos que sea igual a las suma de los cubos de sus dígitos. Es decir:

xyz = x3+y3+z3

¡A pensar… y suerte!

Solución al Desafío #6

En el sexto problema – «El Quinto Elemento» – os proponía seguir la serie:

X1, 1X11, 111X21, 311X1211, …

En este caso particular, no era necesario ninguna fórmula para hallar el siguiente elemento. Se trataba simplemente de «leer» el elemento anterior.

El primer elemento es «X1», por lo que «leemos» que hay una X y un 1, y lo escribimos de la siguiente forma: «1X11». En este último elemento hay un 1, una X y dos 1, y lo escribimos: «111X21», y así sucesivamente. Por tanto, para obtener el quinto elemento, leemos el elemento anterior, «311X1211», donde hay un 3, dos 1, una X, un 1, un 2 y dos 1, y lo escribimos como «13211X111221«. Este es el elemento que buscamos.

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Desafíos Matemáticos #2: Cuadrado Mágico

Esta semana propongo un segundo desafío matemático. Tras leer el enunciado puede parecer sencillo encontrar una solución al problema, sin embargo, seguro que os lleva varios minutos empezar a dar con la clave.

El cuadrado mágico de números de dimensiones 3×3 es como muestra la figura:

Cada casilla debe contener un número diferente, y cada fila, cada columna y cada diagonal suma 15.

El nuevo desafío consiste en encontrar un cuadrado mágico que cumpla las mismas condiciones pero con la restricción de que el número 8 esté colocado en la casilla superior central, de la siguiente forma:

¡A pensar…y suerte!

La semana pasada proponía el primer desafío, retando a los alumnos a encontrar el máximo número de partes en que se podía dividir un rosco con solo 3 cortes rectos. Bien, son 9 los fragmentos que se pueden obtener de la siguiente forma: