Desafíos Matemáticos #5: Los 5 rectángulos

Con este quinto desafío matemático, ya sólo quedan 3 enigmas para completar la serie de problemas de lógica y matemáticas que voy proponiendo cada semana.

Forma 5 rectángulos tomando como lados los números que aparecen en la siguiente lista:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

El desafío consiste en colocar los 5 rectángulos de tal modo de formen cuadrado de 11×11. Por ejemplo, se pueden construir rectángulos de 1×3, 4×8, 9×5, etc. Sin embargo, cada número se puede utilizar sólo una vez. Es decir, no es posible formar dos rectángulos, uno de 2×3 y otro de 3×7.

¡A pensar… y suerte!

El desafío de la semana pasada -El Supermercado- era probablemente uno de los más fáciles de esta primera serie. Después de pensar durante algunos minutos, es relativamente sencillo encontrar la solución al problema. La pregunta formulada era la siguiente:

Un matrimonio sale del supermercado después de hacer la compra semanal. Entre los dos cargan varias bolsas hasta que a mitad de camino el marido empieza a quejarse por el peso que lleva en sus manos. Su mujer le dice:

– ¿Por qué te quejas? ¡Si me das una de tus bolsas, yo tendré el doble que tú. Y si yo te doy una, los dos llevaremos el mismo peso!

¿Cuántas bolsas lleva cada uno?

La respuesta es 5 y 7, es decir, el marido lleva 5 bolsas y la mujer lleva 7. Por lo tanto, si el marido le da una de sus bolsas a su mujer, él se queda con 4 (5-1) y ella con 8 (7+1). Si por el contrario, la mujer es la que le da una bolsa a su marido, ella se queda con 6 (7-1) y él con 6 también (5+1).

Aunque la solución se puede hallar pensando mentalmente posibles combinaciones de números de bolsas, lo más fácil es plantear un sencillo sistema de ecuaciones que directamente resuelva el problema. Supondremos que ‘y’ es el número de bolsas que lleva la mujer y ‘x’ el número de bolsas que lleva su marido. Para ello escribiríamos:

y + 1 = 2(x-1)

x + 1 = y – 1

Con la primera ecuación estamos expresando la situación en la que el marido, que lleva inicialmente ‘x’ bolsas, le da una a su mujer, que se queda con una más, es decir, con y+1; y el marido por tanto se queda con una menos,  x-1 bolsas. Esa cantidad es el doble de lo que lleva la mujer, expresado por la igualdad 2(x-1) = y + 1

La segunda ecuación, x + 1 = y – 1, indica que si es la mujer la que le da una bolsa al marido, esta se queda con una menos (y-1) y él con una más (x+1).

Resolviendo el sistema de ecuaciones por cualquier de los métodos tradicionales (sustitución, reducción, igualación, …) llegamos a la solución x=5 e y=7. La figura muestra la resolución del sistema de ecuaciones de forma gráfica representando las dos rectas con GeoGebra y calculando la intersección, que es el punto (5,7), es decir, x=5 e y=7.

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